$\int \frac{2}{x^2+2x} dx$ を計算する。

## 問題の解答

### [1] 次の不定積分を計算せよ。

**1.** $\int \frac{2}{x^2+2x} dx$

**2.** $\int \frac{x}{x^2-2x+2} dx$

**3.** $\int \frac{x^3}{x^2-x-12} dx$

### [2] 次の不定積分を計算せよ。

**1.** $\int \frac{1}{\cos x} dx$

**2.** $\int \frac{1}{2+3\cos x} dx$

**3.** $\int \frac{\sin x}{2(1+\sin x)} dx$

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### [1] - 1

1. 問題の内容

$\int \frac{2}{x^2+2x} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{2}{x^2+2x} = \frac{2}{x(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2}$

両辺に $x(x+2)$ をかけると、

$2 = A(x+2) + Bx$

$2 = (A+B)x + 2A$

係数比較より、

$A+B = 0$

$2A = 2$

したがって、$A = 1$、$B = -1$

よって、

$\frac{2}{x^2+2x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}$

したがって、

$\int \frac{2}{x^2+2x} dx = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+2} dx = \ln|x| - \ln|x+2| + C = \ln|\frac{x}{x+2}| + C$

3. 最終的な答え

$\ln|\frac{x}{x+2}| + C$

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### [1] - 2

1. 問題の内容

$\int \frac{x}{x^2-2x+2} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

分母を平方完成します。

$x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1$

分子を $(x-1)$ の形にします。

$\int \frac{x}{x^2-2x+2} dx = \int \frac{x-1+1}{(x-1)^2+1} dx = \int \frac{x-1}{(x-1)^2+1} dx + \int \frac{1}{(x-1)^2+1} dx$

ここで、$t = (x-1)^2 + 1$ と置くと、$dt = 2(x-1)dx$ であるから、

$\int \frac{x-1}{(x-1)^2+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln|t| + C_1 = \frac{1}{2} \ln((x-1)^2+1) + C_1 = \frac{1}{2} \ln(x^2-2x+2) + C_1$

また、$\int \frac{1}{(x-1)^2+1} dx = \arctan(x-1) + C_2$

したがって、

$\int \frac{x}{x^2-2x+2} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2-2x+2) + \arctan(x-1) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln(x^2-2x+2) + \arctan(x-1) + C$

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### [1] - 3

1. 問題の内容

$\int \frac{x^3}{x^2-x-12} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、分子の次数が分母の次数以上なので、割り算を行います。

$x^3 = (x^2 - x - 12)(x+1) + 13x + 12$

したがって、

$\frac{x^3}{x^2-x-12} = x+1 + \frac{13x+12}{x^2-x-12}$

次に、$\frac{13x+12}{x^2-x-12}$ を部分分数分解します。

$x^2-x-12 = (x-4)(x+3)$

$\frac{13x+12}{(x-4)(x+3)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+3}$

$13x+12 = A(x+3) + B(x-4)$

$x=4$ のとき $13(4)+12 = A(4+3) \implies 64 = 7A \implies A = \frac{64}{7}$

$x=-3$ のとき $13(-3)+12 = B(-3-4) \implies -27 = -7B \implies B = \frac{27}{7}$

したがって、

$\frac{13x+12}{x^2-x-12} = \frac{64}{7(x-4)} + \frac{27}{7(x+3)}$

$\int \frac{x^3}{x^2-x-12} dx = \int (x+1 + \frac{64}{7(x-4)} + \frac{27}{7(x+3)}) dx = \frac{x^2}{2} + x + \frac{64}{7} \ln|x-4| + \frac{27}{7} \ln|x+3| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{2} + x + \frac{64}{7} \ln|x-4| + \frac{27}{7} \ln|x+3| + C$

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### [2] - 1

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{\cos x} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

$\int \frac{1}{\cos x} dx = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} dx$

$t = \sin x$ と置換すると $dt = \cos x dx$

$\int \frac{1}{1-t^2} dt = \int \frac{1}{(1-t)(1+t)} dt = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t}) dt = \frac{1}{2} (-\ln|1-t| + \ln|1+t|) + C = \frac{1}{2} \ln|\frac{1+t}{1-t}| + C$

$\frac{1}{2} \ln|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}| + C = \frac{1}{2} \ln|\frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}| + C = \frac{1}{2} \ln|\frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x}| + C = \ln|\frac{1+\sin x}{\cos x}| + C = \ln|\sec x + \tan x| + C$

3. 最終的な答え

$\ln|\sec x + \tan x| + C$

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### [2] - 2

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{2+3\cos x} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

半角の公式 $\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ を使用する。ここで、$t = \tan(\frac{x}{2})$、$dx = \frac{2}{1+t^2} dt$

$\int \frac{1}{2+3\cos x} dx = \int \frac{1}{2+3(\frac{1-t^2}{1+t^2})} \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{2}{2(1+t^2) + 3(1-t^2)} dt = \int \frac{2}{2+2t^2+3-3t^2} dt = \int \frac{2}{5-t^2} dt = \int \frac{2}{(\sqrt{5}-t)(\sqrt{5}+t)} dt$

$\frac{2}{(\sqrt{5}-t)(\sqrt{5}+t)} = \frac{A}{\sqrt{5}-t} + \frac{B}{\sqrt{5}+t}$

$2 = A(\sqrt{5}+t) + B(\sqrt{5}-t)$

$t = \sqrt{5}$ のとき $2 = 2\sqrt{5} A \implies A = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$t = -\sqrt{5}$ のとき $2 = 2\sqrt{5} B \implies B = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\int \frac{2}{5-t^2} dt = \frac{1}{\sqrt{5}} \int (\frac{1}{\sqrt{5}-t} + \frac{1}{\sqrt{5}+t}) dt = \frac{1}{\sqrt{5}} (-\ln|\sqrt{5}-t| + \ln|\sqrt{5}+t|) + C = \frac{1}{\sqrt{5}} \ln|\frac{\sqrt{5}+t}{\sqrt{5}-t}| + C = \frac{1}{\sqrt{5}} \ln|\frac{\sqrt{5}+\tan(\frac{x}{2})}{\sqrt{5}-\tan(\frac{x}{2})}| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sqrt{5}} \ln|\frac{\sqrt{5}+\tan(\frac{x}{2})}{\sqrt{5}-\tan(\frac{x}{2})}| + C$

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### [2] - 3

1. 問題の内容

$\int \frac{\sin x}{2(1+\sin x)} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

$\int \frac{\sin x}{2(1+\sin x)} dx = \frac{1}{2} \int \frac{\sin x}{1+\sin x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{\sin x (1 - \sin x)}{(1 + \sin x)(1-\sin x)} dx = \frac{1}{2} \int \frac{\sin x - \sin^2 x}{1 - \sin^2 x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{\sin x - \sin^2 x}{\cos^2 x} dx = \frac{1}{2} \int (\frac{\sin x}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}) dx = \frac{1}{2} \int (\sec x \tan x - \tan^2 x) dx$

$\frac{1}{2} \int (\sec x \tan x - (\sec^2 x - 1)) dx = \frac{1}{2} \int (\sec x \tan x - \sec^2 x + 1) dx = \frac{1}{2} (\sec x - \tan x + x) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} (\sec x - \tan x + x) + C$