次の2つの関数を微分せよ。ただし、対数の底は省略されているが、常用対数とする。 (1) $y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}$ (2) $y = \log \frac{x\sqrt{2x+1}}{(2x-1)^2}$

1. 問題の内容

次の2つの関数を微分せよ。ただし、対数の底は省略されているが、常用対数とする。

(1) $y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}$

(2) $y = \log \frac{x\sqrt{2x+1}}{(2x-1)^2}$

2. 解き方の手順

(1) 対数の性質を利用して式を簡単にしてから微分する。

$\log \frac{A}{B} = \log A - \log B$

$\log A^n = n \log A$

上記の性質を利用すると

$y = \log (x+2)^3 - \log (2x+1)^2 = 3\log (x+2) - 2\log (2x+1)$

$y$を$x$で微分すると

$\frac{dy}{dx} = 3 \frac{1}{x+2} - 2 \frac{2}{2x+1} = \frac{3}{x+2} - \frac{4}{2x+1} = \frac{3(2x+1) - 4(x+2)}{(x+2)(2x+1)} = \frac{6x+3-4x-8}{(x+2)(2x+1)} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}$

(2) 対数の性質を利用して式を簡単にしてから微分する。

$\log (AB) = \log A + \log B$

$\log \sqrt{A} = \log A^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log A$

上記の性質を利用すると

$y = \log (x\sqrt{2x+1}) - \log (2x-1)^2 = \log x + \log \sqrt{2x+1} - 2\log (2x-1) = \log x + \frac{1}{2} \log (2x+1) - 2\log (2x-1)$

$y$を$x$で微分すると

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \frac{2}{2x+1} - 2 \frac{2}{2x-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2x+1} - \frac{4}{2x-1} = \frac{(2x+1)(2x-1) + x(2x-1) - 4x(2x+1)}{x(2x+1)(2x-1)} = \frac{4x^2-1+2x^2-x-8x^2-4x}{x(2x+1)(2x-1)} = \frac{-2x^2-5x-1}{x(2x+1)(2x-1)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2-5x-1}{x(2x+1)(2x-1)}$