与えられた関数 $f(x)$ に対して、指定された区間における最大値と最小値を求め、それらを取る時の $x$ の値を求める問題です。 (1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$ ($-3 \le x \le 3$) (2) $f(x) = (\sin x - 1)\cos x$ ($-\pi \le x \le \pi$) (3) $f(x) = x^2\sqrt{1-x^2}$ ($-1 \le x \le 1$)

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ に対して、指定された区間における最大値と最小値を求め、それらを取る時の $x$ の値を求める問題です。

(1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$ ($-3 \le x \le 3$)

(2) $f(x) = (\sin x - 1)\cos x$ ($-\pi \le x \le \pi$)

(3) $f(x) = x^2\sqrt{1-x^2}$ ($-1 \le x \le 1$)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$ ($-3 \le x \le 3$)

まず、導関数を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 4x - 4$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 4x - 4 = 0$

$(3x + 2)(x - 2) = 0$

$x = -\frac{2}{3}, 2$

これらの $x$ の値と区間の端点 $x = -3, 3$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(-3) = -27 - 18 + 12 - 1 = -34$

$f(-\frac{2}{3}) = -\frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{8}{3} - 1 = \frac{-8 - 24 + 72 - 27}{27} = \frac{13}{27}$

$f(2) = 8 - 8 - 8 - 1 = -9$

$f(3) = 27 - 18 - 12 - 1 = -4$

したがって、最大値は $\frac{13}{27}$ ($x = -\frac{2}{3}$)、最小値は $-34$ ($x = -3$)。

(2) $f(x) = (\sin x - 1)\cos x$ ($-\pi \le x \le \pi$)

$f(x) = \sin x \cos x - \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x - \cos x$

$f'(x) = \cos 2x + \sin x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\cos 2x + \sin x = 1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0$

$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

$(2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0$

$\sin x = -\frac{1}{2}, 1$

$x = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$

区間 $-\pi \le x \le \pi$ では、

$x = -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$

これらの $x$ の値と区間の端点 $x = -\pi, \pi$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(-\pi) = (0 - 1)(-1) = 1$

$f(-\frac{5\pi}{6}) = (-\frac{1}{2} - 1)(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = (-\frac{3}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(-\frac{\pi}{6}) = (-\frac{1}{2} - 1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = (-\frac{3}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(\frac{\pi}{2}) = (1 - 1)(0) = 0$

$f(\pi) = (0 - 1)(-1) = 1$

$\frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1.3$なので、最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ($x = -\frac{5\pi}{6}$)、最小値は $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ($x = -\frac{\pi}{6}$)。

(3) $f(x) = x^2\sqrt{1-x^2}$ ($-1 \le x \le 1$)

$f'(x) = 2x\sqrt{1-x^2} + x^2\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = 2x\sqrt{1-x^2} - \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2x(1-x^2) - x^3}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2x - 3x^3}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x(2-3x^2)}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x = 0, \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$

これらの $x$ の値と区間の端点 $x = -1, 1$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(-1) = 1\sqrt{1-1} = 0$

$f(-\sqrt{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3}\sqrt{1-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

$f(0) = 0$

$f(\sqrt{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3}\sqrt{1-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

$f(1) = 1\sqrt{1-1} = 0$

したがって、最大値は $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ ($x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$)、最小値は $0$ ($x = -1, 0, 1$)。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{13}{27}$ ($x = -\frac{2}{3}$), 最小値: $-34$ ($x = -3$)

(2) 最大値: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ($x = -\frac{5\pi}{6}$), 最小値: $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ($x = -\frac{\pi}{6}$)

(3) 最大値: $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ ($x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$), 最小値: $0$ ($x = -1, 0, 1$)