以下の3つの不定積分を求めます。 (2) $\int x \log x dx$ (3) $\int (x+1)e^x dx$ (4) $\int \log x dx$

はい、承知しました。画像にある問題のうち、(2)、(3)、(4)を解きます。

1. 問題の内容

以下の3つの不定積分を求めます。

(2) $\int x \log x dx$

(3) $\int (x+1)e^x dx$

(4) $\int \log x dx$

2. 解き方の手順

(2) $\int x \log x dx$

部分積分法を用います。$u = \log x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

よって、

$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

(3) $\int (x+1)e^x dx$

部分積分法を用います。$u = x+1$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

よって、

$\int (x+1)e^x dx = (x+1)e^x - \int e^x dx = (x+1)e^x - e^x + C = xe^x + e^x - e^x + C = xe^x + C$

あるいは、

$\int (x+1)e^x dx = \int xe^x dx + \int e^x dx$

$\int xe^x dx$ は部分積分で計算します。$u=x$, $dv=e^x dx$とすると、$du=dx$, $v=e^x$。

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C_1$

したがって、$\int (x+1)e^x dx = xe^x - e^x + e^x + C = xe^x + C$

(4) $\int \log x dx$

部分積分法を用います。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

よって、

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x + C$

3. 最終的な答え

(2) $\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

(3) $\int (x+1)e^x dx = xe^x + C$

(4) $\int \log x dx = x \log x - x + C$