## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

1. $\int \frac{1}{(1-x)\sqrt{1+x}} dx$

2. $\int \frac{1}{\sqrt{3x^2+1}} dx$

3. $\int \frac{4}{\sqrt{3x^2-8}} dx$

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2. 解き方の手順

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1. $\int \frac{1}{(1-x)\sqrt{1+x}} dx$

1. $t = \sqrt{1+x}$ と置換する。すると、$t^2 = 1+x$ より $x = t^2 - 1$、そして $dx = 2t dt$ となる。

2. 積分を置換変数 $t$ で書き換える。

$\int \frac{1}{(1-x)\sqrt{1+x}} dx = \int \frac{1}{(1-(t^2-1))t} 2t dt = \int \frac{2}{2-t^2} dt$

3. 被積分関数を部分分数分解する。

$\frac{2}{2-t^2} = \frac{2}{(\sqrt{2}-t)(\sqrt{2}+t)} = \frac{A}{\sqrt{2}-t} + \frac{B}{\sqrt{2}+t}$

$2 = A(\sqrt{2}+t) + B(\sqrt{2}-t)$

$t = \sqrt{2}$ のとき $2 = 2\sqrt{2} A$ より $A = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$t = -\sqrt{2}$ のとき $2 = 2\sqrt{2} B$ より $B = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、 $\frac{2}{2-t^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{1}{\sqrt{2}-t} + \frac{1}{\sqrt{2}+t})$

4. 積分を実行する。

$\int \frac{2}{2-t^2} dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \int (\frac{1}{\sqrt{2}-t} + \frac{1}{\sqrt{2}+t}) dt = \frac{1}{\sqrt{2}} (-\ln|\sqrt{2}-t| + \ln|\sqrt{2}+t|) + C$

$= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln|\frac{\sqrt{2}+t}{\sqrt{2}-t}| + C$

5. $t$ を $x$ に戻す。

$\frac{1}{\sqrt{2}} \ln|\frac{\sqrt{2}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{2}-\sqrt{1+x}}| + C$

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2. $\int \frac{1}{\sqrt{3x^2+1}} dx$

1. $x = \frac{1}{\sqrt{3}} \sinh(u)$ と置換する。すると、$dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \cosh(u) du$ となる。

2. 積分を置換変数 $u$ で書き換える。

$\int \frac{1}{\sqrt{3x^2+1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{3(\frac{1}{3}\sinh^2(u))+1}} \frac{1}{\sqrt{3}} \cosh(u) du = \int \frac{1}{\sqrt{\sinh^2(u)+1}} \frac{1}{\sqrt{3}} \cosh(u) du$

3. $\cosh^2(u) - \sinh^2(u) = 1$ より $\sqrt{\sinh^2(u)+1} = \cosh(u)$ となるので

$= \int \frac{1}{\cosh(u)} \frac{1}{\sqrt{3}} \cosh(u) du = \frac{1}{\sqrt{3}} \int 1 du = \frac{1}{\sqrt{3}} u + C$

4. $u$ を $x$ に戻す。$x = \frac{1}{\sqrt{3}} \sinh(u)$ より $u = \mathrm{arcsinh}(\sqrt{3}x)$ である。

$\frac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{arcsinh}(\sqrt{3}x) + C$

ここで、$\mathrm{arcsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ であるので、

$\frac{1}{\sqrt{3}} \ln(\sqrt{3}x + \sqrt{3x^2+1}) + C$

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3. $\int \frac{4}{\sqrt{3x^2-8}} dx$

1. $x = \sqrt{\frac{8}{3}} \cosh(u)$ と置換する。すると、$dx = \sqrt{\frac{8}{3}} \sinh(u) du$ となる。

2. 積分を置換変数 $u$ で書き換える。

$\int \frac{4}{\sqrt{3x^2-8}} dx = \int \frac{4}{\sqrt{3(\frac{8}{3}\cosh^2(u))-8}} \sqrt{\frac{8}{3}} \sinh(u) du = \int \frac{4}{\sqrt{8(\cosh^2(u)-1)}} \sqrt{\frac{8}{3}} \sinh(u) du$

3. $\cosh^2(u) - \sinh^2(u) = 1$ より $\sqrt{\cosh^2(u)-1} = \sinh(u)$ となるので

$= \int \frac{4}{\sqrt{8}\sinh(u)} \sqrt{\frac{8}{3}} \sinh(u) du = 4 \sqrt{\frac{1}{3}} \int 1 du = \frac{4}{\sqrt{3}} u + C$

4. $u$ を $x$ に戻す。$x = \sqrt{\frac{8}{3}} \cosh(u)$ より $u = \mathrm{arccosh}(\sqrt{\frac{3}{8}}x)$ である。

$\frac{4}{\sqrt{3}} \mathrm{arccosh}(\sqrt{\frac{3}{8}}x) + C$

ここで、$\mathrm{arccosh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2-1})$ であるので、

$\frac{4}{\sqrt{3}} \ln(\sqrt{\frac{3}{8}}x + \sqrt{\frac{3}{8}x^2-1}) + C$

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3. 最終的な答え

1. $\int \frac{1}{(1-x)\sqrt{1+x}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln|\frac{\sqrt{2}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{2}-\sqrt{1+x}}| + C$

2. $\int \frac{1}{\sqrt{3x^2+1}} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \ln(\sqrt{3}x + \sqrt{3x^2+1}) + C$

3. $\int \frac{4}{\sqrt{3x^2-8}} dx = \frac{4}{\sqrt{3}} \ln(\sqrt{\frac{3}{8}}x + \sqrt{\frac{3}{8}x^2-1}) + C$