与えられた3つの関数 $f(x)$ について、それぞれの導関数 $f'(x)$ を求めよ。 (1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$ （$-3 \le x \le 3$） (2) $f(x) = (\sin x - 1) \cos x$ （$-\pi \le x \le \pi$） (3) $f(x) = x^2 \sqrt{1 - x^2}$ （$-1 \le x \le 1$）

1. 問題の内容

与えられた3つの関数 $f(x)$ について、それぞれの導関数 $f'(x)$ を求めよ。

(1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$ （$-3 \le x \le 3$）

(2) $f(x) = (\sin x - 1) \cos x$ （$-\pi \le x \le \pi$）

(3) $f(x) = x^2 \sqrt{1 - x^2}$ （$-1 \le x \le 1$）

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$ の導関数

多項式の微分を行います。

$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 2x^2 - 4x - 1)$

$f'(x) = 3x^2 - 4x - 4$

(2) $f(x) = (\sin x - 1) \cos x$ の導関数

積の微分法則 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。ここで $u = \sin x - 1$、$v = \cos x$ とします。

$u' = \cos x$

$v' = -\sin x$

$f'(x) = (\cos x) (\cos x) + (\sin x - 1) (-\sin x)$

$f'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x + \sin x$

$f'(x) = \cos 2x + \sin x$

(3) $f(x) = x^2 \sqrt{1 - x^2}$ の導関数

積の微分法則 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。ここで $u = x^2$、$v = \sqrt{1 - x^2} = (1-x^2)^{1/2}$ とします。

$u' = 2x$

$v' = \frac{1}{2} (1 - x^2)^{-1/2} (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$

$f'(x) = (2x) \sqrt{1 - x^2} + x^2 \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$

$f'(x) = 2x \sqrt{1 - x^2} - \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^2}}$

$f'(x) = \frac{2x (1 - x^2) - x^3}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2x - 2x^3 - x^3}{\sqrt{1 - x^2}}$

$f'(x) = \frac{2x - 3x^3}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{x(2 - 3x^2)}{\sqrt{1 - x^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 3x^2 - 4x - 4$

(2) $f'(x) = \cos 2x + \sin x$

(3) $f'(x) = \frac{x(2 - 3x^2)}{\sqrt{1 - x^2}}$