1次関数 $f(x)$ が $\int_{a}^{3x+2} f(t) dt = x^2 + 3x$ を満たすとき、$f(x)$ と $a$ を求めよ。

1. 問題の内容

1次関数 $f(x)$ が $\int_{a}^{3x+2} f(t) dt = x^2 + 3x$ を満たすとき、$f(x)$ と $a$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた積分方程式の両辺を $x$ で微分する。積分区間が $x$ の関数であるため、合成関数の微分を利用する。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{3x+2} f(t) dt = \frac{d}{dx} (x^2 + 3x)$

$f(3x+2) \cdot \frac{d}{dx} (3x+2) = 2x + 3$

$f(3x+2) \cdot 3 = 2x + 3$

$f(3x+2) = \frac{2}{3}x + 1$

(2) $3x+2 = u$ とおく。すると、$x = \frac{u-2}{3}$ なので、

$f(u) = \frac{2}{3} \cdot \frac{u-2}{3} + 1 = \frac{2}{9}(u-2) + 1 = \frac{2}{9}u - \frac{4}{9} + 1 = \frac{2}{9}u + \frac{5}{9}$

したがって、$f(x) = \frac{2}{9}x + \frac{5}{9}$ である。

(3) 与えられた積分方程式に $x=0$ を代入する。

$\int_{a}^{2} f(t) dt = 0$

$\int_{a}^{2} (\frac{2}{9}t + \frac{5}{9}) dt = 0$

$\left[ \frac{1}{9}t^2 + \frac{5}{9}t \right]_a^2 = 0$

$(\frac{4}{9} + \frac{10}{9}) - (\frac{1}{9}a^2 + \frac{5}{9}a) = 0$

$\frac{14}{9} - \frac{1}{9}a^2 - \frac{5}{9}a = 0$

$14 - a^2 - 5a = 0$

$a^2 + 5a - 14 = 0$

$(a+7)(a-2) = 0$

$a = -7, 2$

(4) もし $a=2$ ならば、$\int_{2}^{3x+2} f(t) dt = x^2 + 3x$ となる。

$x=0$ を代入すると、$\int_{2}^{2} f(t) dt = 0$ となり、$0 = 0$ が成立する。

(5) $a=-7$ の場合、

$f(x) = \frac{2}{9}x + \frac{5}{9}$ を代入し、計算して確かめる。

(6) $\int_{-7}^{3x+2} (\frac{2}{9}t + \frac{5}{9}) dt = \left[ \frac{1}{9}t^2 + \frac{5}{9}t \right]_{-7}^{3x+2} = (\frac{1}{9}(3x+2)^2 + \frac{5}{9}(3x+2)) - (\frac{1}{9}(-7)^2 + \frac{5}{9}(-7))$

$= \frac{1}{9}(9x^2 + 12x + 4) + \frac{1}{9}(15x + 10) - (\frac{49}{9} - \frac{35}{9})$

$= x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} + \frac{5}{3}x + \frac{10}{9} - \frac{14}{9} = x^2 + (\frac{4}{3} + \frac{5}{3})x + \frac{14}{9} - \frac{14}{9} = x^2 + 3x$

よって、$a = -7$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{2}{9}x + \frac{5}{9}$ であり、$a = -7$ である。