関数 $f(x) = (\sin x - 1)\cos x$ の $-\pi \leq x \leq \pi$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (\sin x - 1)\cos x$ の $-\pi \leq x \leq \pi$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を変形します。

$f(x) = \sin x \cos x - \cos x$

$f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x - \cos x$

次に、$f(x)$ を微分して、極値を求めます。

$f'(x) = \cos 2x + \sin x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\cos 2x + \sin x = 0$

$1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0$

$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

$(2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0$

$\sin x = -\frac{1}{2}$ または $\sin x = 1$

$-\pi \leq x \leq \pi$ の範囲で、$\sin x = -\frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = -\frac{\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}$ です。

$\sin x = 1$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{2}$ です。

よって、$x = -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$ が極値の候補です。

また、$x = -\pi, \pi$ も端点として考慮します。

$f(-\pi) = (\sin(-\pi) - 1)\cos(-\pi) = (0 - 1)(-1) = 1$

$f(-\frac{5\pi}{6}) = (\sin(-\frac{5\pi}{6}) - 1)\cos(-\frac{5\pi}{6}) = (-\frac{1}{2} - 1)(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = (-\frac{3}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(-\frac{\pi}{6}) = (\sin(-\frac{\pi}{6}) - 1)\cos(-\frac{\pi}{6}) = (-\frac{1}{2} - 1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = (-\frac{3}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(\frac{\pi}{2}) = (\sin(\frac{\pi}{2}) - 1)\cos(\frac{\pi}{2}) = (1 - 1)(0) = 0$

$f(\pi) = (\sin(\pi) - 1)\cos(\pi) = (0 - 1)(-1) = 1$

$\frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1.299$ なので、

最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ で、最小値は $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

最小値: $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$