関数 $y = \sin^2{3x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2{3x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数を微分するには、合成関数の微分法（チェーンルール）を使用します。まず、外側の関数 $u^2$ を $u$ について微分し、次に内側の関数 $u = \sin{3x}$ を $x$ について微分します。

$y = \sin^2{3x}$ を $x$ で微分することを考えます。

$u = \sin{3x}$ とおくと、 $y = u^2$ となります。

チェーンルールより、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

まず、$\frac{dy}{du}$ を計算します。 $y = u^2$ なので、

$\frac{dy}{du} = 2u$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。 $u = \sin{3x}$ なので、さらに $v=3x$ と置くと、$u = \sin{v}$。チェーンルールより、$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ です。

$\frac{du}{dv} = \cos{v}$

$\frac{dv}{dx} = 3$

したがって、$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = (\cos{v}) \cdot 3 = 3\cos{3x}$

最後に、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot (3\cos{3x}) = 2\sin{3x} \cdot 3\cos{3x} = 6\sin{3x}\cos{3x}$

三角関数の倍角の公式 $2\sin{\theta}\cos{\theta} = \sin{2\theta}$ を用いると、

$6\sin{3x}\cos{3x} = 3(2\sin{3x}\cos{3x}) = 3\sin{(2 \cdot 3x)} = 3\sin{6x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3\sin{6x}$