関数 $y = \frac{3x+4}{x^2+1}$ の最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{3x+4}{x^2+1}$ の最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $y = \frac{3x+4}{x^2+1}$ の最大値と最小値を求めるために、まず $y$ を $x$ について微分し、導関数が0になる $x$ の値を求めます。

$y' = \frac{d}{dx} (\frac{3x+4}{x^2+1})$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いると、

$y' = \frac{3(x^2+1) - (3x+4)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2 - 8x}{(x^2+1)^2} = \frac{-3x^2 - 8x + 3}{(x^2+1)^2}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めるためには、分子が0になる必要があります。

$-3x^2 - 8x + 3 = 0$

$3x^2 + 8x - 3 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(3x - 1)(x + 3) = 0$

$x = \frac{1}{3}, -3$

$x = \frac{1}{3}$ のとき、

$y = \frac{3(\frac{1}{3}) + 4}{(\frac{1}{3})^2 + 1} = \frac{1+4}{\frac{1}{9} + 1} = \frac{5}{\frac{10}{9}} = \frac{5 \times 9}{10} = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$

$x = -3$ のとき、

$y = \frac{3(-3) + 4}{(-3)^2 + 1} = \frac{-9+4}{9+1} = \frac{-5}{10} = -\frac{1}{2}$

したがって、$x = \frac{1}{3}$ のとき、最大値 $y = \frac{9}{2}$ であり、$x = -3$ のとき、最小値 $y = -\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $y = \frac{9}{2}$ ($x = \frac{1}{3}$ のとき)

最小値: $y = -\frac{1}{2}$ ($x = -3$ のとき)