関数 $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を用いて、$y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ を $y = r \sin(x + \alpha)$ の形に変形する。

まず、$r$ を求める。$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$。

次に、$\alpha$ を求める。$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \alpha = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ を考える。

これは $\alpha = \frac{\pi}{6}$ である。

したがって、$y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$ と表せる。

$\sin(x + \frac{\pi}{6})$ の最大値は $1$、最小値は $-1$ である。

よって、$y$ の最大値は $2 \times 1 = 2$、最小値は $2 \times (-1) = -2$ である。

3. 最終的な答え

最大値: 2

最小値: -2