与えられた不定積分を計算します。具体的には、以下の積分を計算します。 [1] 1. $\int (x^5 + 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 5x + 3) \, dx$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算します。具体的には、以下の積分を計算します。

[1]

1. $\int (x^5 + 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 5x + 3) \, dx$

2. $\int (3\sin x + 4\cos x + 5\tan x) \, dx$

3. $\int (3e^x + 1) \, dx$

4. $\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$

5. $\int \frac{x^2 + 1}{x} \, dx$

6. $\int \frac{1}{(3x+2)^3} \, dx$

[2] $a \ne 0$のとき、置換積分を用いて$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$ を求める。ただし、$x = a\sin t$とする。

[3] $a \ne 0$のとき、置換積分を用いて$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} dx$ を求める。ただし、$x = a\sinh t$とする。

2. 解き方の手順

[1]

1. 各項ごとに積分します。

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \ne -1$) を用います。

2. 各項ごとに積分します。

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

$\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$

3. 各項ごとに積分します。

$\int e^x \, dx = e^x + C$

4. $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$として積分します。

5. $\frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$として積分します。

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

6. $u = 3x + 2$と置換すると、$du = 3 \, dx$, $dx = \frac{1}{3} du$となります。

$\int \frac{1}{u^3} \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int u^{-3} \, du$として積分します。

[2] $x = a\sin t$とすると、$dx = a\cos t \, dt$

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \int \frac{a\cos t}{\sqrt{a^2 - a^2\sin^2 t}} dt = \int \frac{a\cos t}{\sqrt{a^2(1 - \sin^2 t)}} dt = \int \frac{a\cos t}{\sqrt{a^2\cos^2 t}} dt = \int \frac{a\cos t}{a\cos t} dt = \int 1 \, dt = t + C$

ここで、$x = a\sin t$より$\sin t = \frac{x}{a}$なので、$t = \arcsin \frac{x}{a}$

[3] $x = a\sinh t$とすると、$dx = a\cosh t \, dt$

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} dx = \int \frac{a\cosh t}{\sqrt{a^2 + a^2\sinh^2 t}} dt = \int \frac{a\cosh t}{\sqrt{a^2(1 + \sinh^2 t)}} dt = \int \frac{a\cosh t}{\sqrt{a^2\cosh^2 t}} dt = \int \frac{a\cosh t}{a\cosh t} dt = \int 1 \, dt = t + C$

ここで、$x = a\sinh t$より$\sinh t = \frac{x}{a}$なので、$t = \mathrm{arcsinh} \frac{x}{a}$。$\mathrm{arcsinh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$より、$t = \ln(\frac{x}{a} + \sqrt{(\frac{x}{a})^2 + 1}) = \ln(\frac{x + \sqrt{x^2 + a^2}}{a}) = \ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) - \ln a$

よって、$t + C = \ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C'$

3. 最終的な答え

[1]

1. $\frac{1}{6}x^6 + \frac{2}{5}x^5 + \frac{3}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 3x + C$

2. $-3\cos x + 4\sin x - 5\ln|\cos x| + C$

3. $3e^x + x + C$

4. $2\sqrt{x} + C$

5. $\frac{1}{2}x^2 + \ln|x| + C$

6. $-\frac{1}{18(3x+2)^2} + C$

[2] $\arcsin \frac{x}{a} + C$

[3] $\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C$