定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \tan^2(3x) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \tan^2(3x) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の恒等式 $\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1$ を用いて、被積分関数を変形します。

$\tan^2(3x) = \sec^2(3x) - 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \tan^2(3x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{12}} (\sec^2(3x) - 1) \, dx$

この積分を2つの部分に分けます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} (\sec^2(3x) - 1) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \sec^2(3x) \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{12}} 1 \, dx$

$\int \sec^2(3x) \, dx$ を計算するために、置換 $u = 3x$ を行います。すると、$du = 3 \, dx$ となり、$dx = \frac{1}{3} \, du$ となります。

$\int \sec^2(3x) \, dx = \frac{1}{3} \int \sec^2(u) \, du = \frac{1}{3} \tan(u) + C = \frac{1}{3} \tan(3x) + C$

次に、積分範囲を変更します。$x = 0$ のとき、$u = 3(0) = 0$ であり、$x = \frac{\pi}{12}$ のとき、$u = 3(\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{4}$ です。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \sec^2(3x) \, dx = \frac{1}{3} [\tan(3x)]_{0}^{\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{3} (\tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0)) = \frac{1}{3} (1 - 0) = \frac{1}{3}$

そして、$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} 1 \, dx = [x]_{0}^{\frac{\pi}{12}} = \frac{\pi}{12} - 0 = \frac{\pi}{12}$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \tan^2(3x) \, dx = \frac{1}{3} - \frac{\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} - \frac{\pi}{12}$