定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \tan^2(3x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \tan^2(3x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の恒等式 $\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1$ を用いて、積分を以下のように変形します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \tan^2(3x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{12}} (\sec^2(3x) - 1) dx$

次に、積分を分割します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} (\sec^2(3x) - 1) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \sec^2(3x) dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{12}} 1 dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int \sec^2(3x) dx = \frac{1}{3} \tan(3x) + C$

$\int 1 dx = x + C$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \sec^2(3x) dx = \left[ \frac{1}{3} \tan(3x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{3} \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{3} \tan(0) = \frac{1}{3}(1) - \frac{1}{3}(0) = \frac{1}{3}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} 1 dx = \left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{12}} = \frac{\pi}{12} - 0 = \frac{\pi}{12}$

よって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \tan^2(3x) dx = \frac{1}{3} - \frac{\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} - \frac{\pi}{12}$