与えられた10個の関数をそれぞれ微分せよ。

1. 問題の内容

与えられた10個の関数をそれぞれ微分せよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$ より、$y' = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$. または、商の微分法を使うと、$y' = \frac{-\sin x \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

(2) $y = \cos(3x+2)$ より、$y' = -3\sin(3x+2)$.

(3) $y = e^{2x+3}$ より、$y' = 2e^{2x+3}$.

(4) $y = xe^{2x}$ より、$y' = e^{2x} + 2xe^{2x} = (1+2x)e^{2x}$.

(5) $y = \sqrt[3]{e^{2x}} = e^{\frac{2}{3}x}$ より、$y' = \frac{2}{3}e^{\frac{2}{3}x} = \frac{2}{3}\sqrt[3]{e^{2x}}$.

(6) $y = x^2 \sin 3x$ より、$y' = 2x\sin 3x + 3x^2\cos 3x$.

(7) $y = \frac{\log x}{x^2}$ より、$y' = \frac{\frac{1}{x}x^2 - 2x\log x}{x^4} = \frac{x - 2x\log x}{x^4} = \frac{1-2\log x}{x^3}$.

(8) $y = 2^{3x+1}$ より、$y' = 3 \cdot 2^{3x+1} \log 2$.

(9) $y = \log_5(2x-3)$ より、$y' = \frac{2}{(2x-3)\log 5}$.

(10) $y = \log |4-7x|$ より、$y' = \frac{-7}{4-7x} = \frac{7}{7x-4}$.

3. 最終的な答え

(1) $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

(2) $y' = -3\sin(3x+2)$

(3) $y' = 2e^{2x+3}$

(4) $y' = (1+2x)e^{2x}$

(5) $y' = \frac{2}{3}\sqrt[3]{e^{2x}}$

(6) $y' = 2x\sin 3x + 3x^2\cos 3x$

(7) $y' = \frac{1-2\log x}{x^3}$

(8) $y' = 3 \cdot 2^{3x+1} \log 2$

(9) $y' = \frac{2}{(2x-3)\log 5}$

(10) $y' = \frac{7}{7x-4}$