(1) 関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を、$x < 0$ ならば $f(x) = 0$、$x \geq 0$ ならば $f(x) = 1$ と定義する。このとき、$f$ は $x=0$ で連続ではないことを証明する。 (2) 関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を、$g(x)$ は $x$ の多項式と定義する。このとき、$g$ は $x=0$ で連続であることを証明する。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を、$x < 0$ ならば $f(x) = 0$、$x \geq 0$ ならば $f(x) = 1$ と定義する。このとき、$f$ は $x=0$ で連続ではないことを証明する。

(2) 関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を、$g(x)$ は $x$ の多項式と定義する。このとき、$g$ は $x=0$ で連続であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f$ が $x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成立する必要がある。

まず、$f(0) = 1$ である。

次に、左極限 $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ を計算する。$x < 0$ では $f(x) = 0$ であるから、

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 0 = 0$ となる。

右極限 $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ を計算する。$x \geq 0$ では $f(x) = 1$ であるから、

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$ となる。

左極限と右極限が一致しないため、$\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在しない。

あるいは、左極限 $0$ と $f(0) = 1$ が一致しないため、$f$ は $x=0$ で連続ではない。

(2) $g(x)$ は $x$ の多項式であるから、

$g(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ (ただし、$a_i$ は定数)

と表せる。

$g(0) = a_n 0^n + a_{n-1} 0^{n-1} + \cdots + a_1 0 + a_0 = a_0$ である。

$\lim_{x \to 0} g(x)$ を計算する。多項式は連続関数であるから、

$\lim_{x \to 0} g(x) = g(0) = a_0$ となる。

したがって、$\lim_{x \to 0} g(x) = g(0)$ が成立するので、$g$ は $x=0$ で連続である。

3. 最終的な答え

(1) $f$ は $x=0$ で連続ではない。

(2) $g$ は $x=0$ で連続である。