$k$ は0でない実数、$f(x)$ は2次関数とする。$F(x)$ と $G(x)$ はどちらも導関数が $f(x)$ であるような関数で、$F(x)$ は $x=0$ で極小値0をとり、$G(x)$ は $x=k$ で極大値0をとる。 (1) $F(x) = 2x^3 + 3x^2$ の場合を考える。$F(x)$ の導関数が $f(x)$ であることから、$f(x)$ を求め、$F(x)$ が極大値をとる $x$ を求め、また、$G(x)$ の形を求め、$G(x)$ が極小値をとる $x$ を求め、$C$ を求める。 (2) 次に、$k>0$ の場合を考える。このとき、$F(x)$ と $G(x)$ に関する条件から、$y=F(x)$ のグラフと $F(x)$, $G(x)$ の極値について調べる。

1. 問題の内容

$k$ は0でない実数、$f(x)$ は2次関数とする。$F(x)$ と $G(x)$ はどちらも導関数が $f(x)$ であるような関数で、$F(x)$ は $x=0$ で極小値0をとり、$G(x)$ は $x=k$ で極大値0をとる。

(1) $F(x) = 2x^3 + 3x^2$ の場合を考える。$F(x)$ の導関数が $f(x)$ であることから、$f(x)$ を求め、$F(x)$ が極大値をとる $x$ を求め、また、$G(x)$ の形を求め、$G(x)$ が極小値をとる $x$ を求め、$C$ を求める。

(2) 次に、$k>0$ の場合を考える。このとき、$F(x)$ と $G(x)$ に関する条件から、$y=F(x)$ のグラフと $F(x)$, $G(x)$ の極値について調べる。

2. 解き方の手順

(1)

$F(x) = 2x^3 + 3x^2$ より、

$f(x) = F'(x) = 6x^2 + 6x = 6x(x+1)$

$f(x)=0$ となるのは、$x=0, -1$ である。

$x<-1$ のとき、$f(x)>0$

$-1<x<0$ のとき、$f(x)<0$

$x>0$ のとき、$f(x)>0$

増減表より、$F(x)$ は $x=-1$ で極大値をとる。

$F(x)$ と $G(x)$ の導関数が $f(x)$ なので

$G(x) = \int f(x) dx = \int (6x^2+6x) dx = 2x^3 + 3x^2 + C$

$G'(x) = f(x) = 6x(x+1)$

$G'(x) = 0$ より $x=0, -1$

$G(x)$ は $x=-1$ で極大、$x=0$ で極小

$G(k) = 0$ より、$2k^3+3k^2+C=0$。$G(x)$ は $x=k$ で極大値をとるので、$k=-1$ 。従って$G(-1)=0$より、$2(-1)^3 + 3(-1)^2 + C = 0$　$-2+3+C=0$ $C=-1$

(2)

$F(x)$ が $x=0$ で極小値をとるので、$f(0) = F'(0) = 0$

$x=0$ の前後で $f(x)$ の符号は正から負に変わる。（増加から減少に変わる）

$G(x)$ が $x=k$ で極大値をとるので、$f(k) = 0$

$x=k$ の前後で $f(x)$ の符号は正から負に変わる。

従って、$y=F(x)$ のグラフは原点で極小となる。

3. 最終的な答え

(1)

$f(x) = 6x^2 + 6x$

$x = -1$

$G(x) = 2x^3 + 3x^2 + C$

$x=0$

$C=-1$

(2)

$f(0) = 0$

負

$f(k)=0$

正

増加から減少に変わる