$f(x)$ は2次関数であり、$F(x)$ と $G(x)$ はどちらも導関数が $f(x)$ であるような関数である。$F(x)$ は $x=0$ で極小値0をとり、$G(x)$ は $x=k$ で極大値0をとる。 (1) $F(x) = 2x^3 + 3x^2$ の場合について、関数 $f(x)$, $G(x)$, $F(x)$、$G(x)$ の極値などを求める。 (2) $k>0$ の場合について、$F(x)$ と $G(x)$ の極値などから、$y=F(x)$ のグラフの概形を求める。

1. 問題の内容

$f(x)$ は2次関数であり、$F(x)$ と $G(x)$ はどちらも導関数が $f(x)$ であるような関数である。$F(x)$ は $x=0$ で極小値0をとり、$G(x)$ は $x=k$ で極大値0をとる。

(1) $F(x) = 2x^3 + 3x^2$ の場合について、関数 $f(x)$, $G(x)$, $F(x)$、$G(x)$ の極値などを求める。

(2) $k>0$ の場合について、$F(x)$ と $G(x)$ の極値などから、$y=F(x)$ のグラフの概形を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$F(x) = 2x^3 + 3x^2$ より、$f(x) = F'(x) = 6x^2 + 6x = 6x(x+1)$。

$f(x) = 0$ となるのは $x=0, -1$。

$F'(x) = 6x(x+1)$ の符号を調べると、$x<-1$ で $F'(x)>0$, $-1<x<0$ で $F'(x)<0$, $x>0$ で $F'(x)>0$ となるので、$F(x)$ は $x=-1$ で極大となる。したがって、「ウエ」は-1。

$G'(x) = f(x)$ より、$G(x) = \int f(x) dx = \int (6x^2+6x) dx = 2x^3 + 3x^2 + C$ (Cは積分定数)。したがって、「オ」は2、「カ」は3。

$G(x)$ は $x=k$ で極大値をとるので、$G'(k) = f(k) = 0$。$f(x) = 6x(x+1)$ なので、$k=0, -1$。しかし、$k$は0でない実数なので、$k = -1$。したがって、「キ」は -1 。

$G(-1)=0$ より、$2(-1)^3 + 3(-1)^2 + C = 0$ なので、$-2+3+C = 0$ より $C = -1$。したがって、「クケ」は-1。

(2)

(i) $F(x)$ が $x=0$ で極小値をとるので、$f(0) = F'(0) = 0$。したがって、「コ」は 0 。

$F(x)$ が $x=0$ で極小値をとることから、$x=0$ の前後で $f(x)$ の符号は、負から正に変わる。したがって、「サ」は負。

$G(x)$ が $x=k$ で極大値をとるので、$G'(k) = f(k) = 0$。したがって、「シ」は 0 。

$G(x)$ が $x=k$ で極大値をとることから、$x=k$ の前後で $f(x)$ の符号は、正から負に変わる。したがって、「ス」は正。

$F(x)$ は $x=0$ で極小値0をとり、$F'(x)=f(x)$ なので、$f(0)=0$、$x=0$ の前後で $f(x)$ の符号が負から正に変わる。また、$k>0$ のとき、$x=k$ の前後で $f(x)$ の符号が正から負に変わるので、グラフは下に凸な放物線で、上に凸な部分がある。したがって、「セ」は下に凸な放物線。

3. 最終的な答え

(1)

ア：6

イ：6

ウエ：-1

オ：2

カ：3

キ：-1

クケ：-1

(2)

コ：0

サ：負

シ：0

ス：正

セ：下に凸な放物線