関数 $y = x^3 + x + 1$ の点 $(1, 3)$ における微分係数と、その点における接線の方程式を求めます。

わかりました。画像の数学の問題を解いていきます。まず問題1の(1)を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 + x + 1$ の点 $(1, 3)$ における微分係数と、その点における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分します。

$y' = \frac{d}{dx}(x^3 + x + 1)$

$y' = 3x^2 + 1$

次に、点 $(1, 3)$ における微分係数を求めます。これは、$y'$ に $x = 1$ を代入することで得られます。

$y'(1) = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4$

したがって、点 $(1, 3)$ における微分係数は 4 です。

次に、接線の方程式を求めます。接線の方程式は、一般に $y - y_1 = m(x - x_1)$ の形で表されます。ここで、$(x_1, y_1)$ は接点の座標であり、$m$ は接線の傾きです。この場合、$(x_1, y_1) = (1, 3)$ であり、$m = 4$ です。したがって、接線の方程式は次のようになります。

$y - 3 = 4(x - 1)$

$y - 3 = 4x - 4$

$y = 4x - 1$

3. 最終的な答え

点 $(1, 3)$ における微分係数は $4$ であり、その点における接線の方程式は $y = 4x - 1$ です。