関数 $y = x^3 + x + 1$ の点 $(1, 3)$ における微分を求め、その点における接線の方程式を求める。

## 問題1-(1)

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 + x + 1$ の点 $(1, 3)$ における微分を求め、その点における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 微分を求める：

関数 $y = x^3 + x + 1$ を $x$ で微分すると、

$$$$

\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 1

$$$$

(2) 点 $(1, 3)$ における微分を求める：

$x = 1$ を代入すると、

$$$$

\frac{dy}{dx} \Big|_{x=1} = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4

$$$$

(3) 接線の方程式を求める：

点 $(1, 3)$ を通り、傾きが $4$ の直線の方程式は、

$$$$

y - 3 = 4(x - 1)

$$$$

これを整理すると、

$$$$

y = 4x - 4 + 3

$$$$

$$$$

y = 4x - 1

$$$$

3. 最終的な答え

点 $(1, 3)$ における微分は $4$ である。

接線の方程式は $y = 4x - 1$ である。

## 問題1-(2)

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{1+x^2}$ の点 $(0, 1)$ における微分を求め、その点における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 微分を求める：

関数 $y = \frac{1}{1+x^2}$ を $x$ で微分すると、

$$$$

\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1+x^2)^{-1} = -1(1+x^2)^{-2} \cdot 2x = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}

$$$$

(2) 点 $(0, 1)$ における微分を求める：

$x = 0$ を代入すると、

$$$$

\frac{dy}{dx} \Big|_{x=0} = \frac{-2(0)}{(1+0^2)^2} = \frac{0}{1} = 0

$$$$

(3) 接線の方程式を求める：

点 $(0, 1)$ を通り、傾きが $0$ の直線の方程式は、

$$$$

y - 1 = 0(x - 0)

$$$$

$$$$

y = 1

$$$$

3. 最終的な答え

点 $(0, 1)$ における微分は $0$ である。

接線の方程式は $y = 1$ である。

## 問題1-(3)

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x$ の点 $(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ における微分を求め、その点における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 微分を求める：

関数 $y = \sin x$ を $x$ で微分すると、

$$$$

\frac{dy}{dx} = \cos x

$$$$

(2) 点 $(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ における微分を求める：

$x = \frac{\pi}{3}$ を代入すると、

$$$$

\frac{dy}{dx} \Big|_{x=\frac{\pi}{3}} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}

$$$$

(3) 接線の方程式を求める：

点 $(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ を通り、傾きが $\frac{1}{2}$ の直線の方程式は、

$$$$

y - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})

$$$$

$$$$

y = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}

$$$$

3. 最終的な答え

点 $(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ における微分は $\frac{1}{2}$ である。

接線の方程式は $y = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

## 問題2-(1)

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x}$ の微分を求める。

2. 解き方の手順

関数 $y = \frac{1}{x} = x^{-1}$ を $x$ で微分すると、

$$$$

\frac{dy}{dx} = -1x^{-2} = -\frac{1}{x^2}

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$

## 問題2-(2)

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x^2$ の微分を求める。

2. 解き方の手順

関数 $y = \sin x^2$ を $x$ で微分すると、

$$$$

\frac{dy}{dx} = \cos x^2 \cdot 2x = 2x \cos x^2

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2x \cos x^2$

## 問題2-(3)

1. 問題の内容

関数 $y = \tan^{-1} \sqrt{x}$ の微分を求める。

2. 解き方の手順

関数 $y = \tan^{-1} \sqrt{x}$ を $x$ で微分すると、

$$$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

## 問題3-(1)

1. 問題の内容

関数 $y = x^x$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

両辺の自然対数をとる：

$$$$

\ln y = \ln (x^x) = x \ln x

$$$$

両辺を $x$ で微分する：

$$$$

\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1

$$$$

したがって、

$$$$

\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

## 問題3-(2)

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

両辺の自然対数をとる：

$$$$

\ln y = \ln (x^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x} \ln x

$$$$

両辺を $x$ で微分する：

$$$$

\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} \ln x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2} (1 - \ln x)

$$$$

したがって、

$$$$

\frac{dy}{dx} = y \frac{1}{x^2} (1 - \ln x) = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \ln x}{x^2}

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \ln x}{x^2}$

## 問題3-(3)

1. 問題の内容

関数 $y = (x+1)(x+2)(x+3)$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

関数を展開する：

$$$$

y = (x+1)(x^2 + 5x + 6) = x^3 + 5x^2 + 6x + x^2 + 5x + 6 = x^3 + 6x^2 + 11x + 6

$$$$

これを $x$ で微分する：

$$$$

\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 12x + 11

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 12x + 11$

## 問題3-(4)

1. 問題の内容

関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2+1})$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

関数を $x$ で微分する：

$$$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \left(1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\right) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)

$$$$

$$$$

= \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \left(\frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}}\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

## 問題3-(5)

1. 問題の内容

関数 $y = a^{\log x}$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

関数を $x$ で微分する。ここで対数は自然対数とする。

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\frac{dy}{dx} = a^{\log x} \ln a \cdot \frac{1}{x} = \frac{a^{\log x} \ln a}{x}

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{a^{\log x} \ln a}{x}$

## 問題3-(6)

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

$$$$

y = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{\frac{1}{2}}

$$$$

両辺の自然対数をとる：

$$$$

\ln y = \frac{1}{2} (\ln (1-x) - \ln (1+x))

$$$$

両辺を $x$ で微分する：

$$$$

\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{-1}{1-x} - \frac{1}{1+x}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{-(1+x) - (1-x)}{(1-x)(1+x)}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{-2}{1-x^2}\right) = \frac{-1}{1-x^2}

$$$$

したがって、

$$$$

\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{-1}{1-x^2} = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \cdot \frac{-1}{1-x^2} = -\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} \cdot \frac{1}{(1-x)(1+x)} = -\frac{1}{\sqrt{1-x}(1+x)^{\frac{3}{2}}}

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x}(1+x)^{\frac{3}{2}}}$