3次関数 $y = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12x - 7$ の極大値と極小値を求め、さらに $x \ge 0$ における最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

3次関数 $y = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12x - 7$ の極大値と極小値を求め、さらに $x \ge 0$ における最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、極値の候補となる $x$ の値を求めます。

$y' = -2x^2 + 2x + 12$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-2x^2 + 2x + 12 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3, -2$

次に、$x=3$ と $x=-2$ が極大値と極小値のどちらを与えるか判定するために、2階微分を計算します。

$y'' = -4x + 2$

$x = 3$ のとき、

$y''(3) = -4(3) + 2 = -10 < 0$

したがって、$x = 3$ で極大値をとります。

$x = -2$ のとき、

$y''(-2) = -4(-2) + 2 = 10 > 0$

したがって、$x = -2$ で極小値をとります。

$x = 3$ のときの $y$ の値を計算します。

$y(3) = -\frac{2}{3}(3)^3 + (3)^2 + 12(3) - 7 = -\frac{2}{3}(27) + 9 + 36 - 7 = -18 + 9 + 36 - 7 = 20$

したがって、極大値は $20$ です。

$x = -2$ のときの $y$ の値を計算します。

$y(-2) = -\frac{2}{3}(-2)^3 + (-2)^2 + 12(-2) - 7 = -\frac{2}{3}(-8) + 4 - 24 - 7 = \frac{16}{3} + 4 - 24 - 7 = \frac{16}{3} - 27 = \frac{16 - 81}{3} = -\frac{65}{3}$

したがって、極小値は $-\frac{65}{3}$ です。

次に、$x \ge 0$ における最大値を求めます。

$x = 3$ で極大値 $20$ を取ることがわかっています。

$x = 0$ のとき、$y(0) = -7$ です。

$x \to \infty$ のとき、$y \to -\infty$ なので、最大値は極大値の可能性がある $x=3$での値 $y(3)=20$か、$x=0$での値$y(0)=-7$のどちらかになります。$x\ge 0$なので、$x=-2$は考慮しません。

$y(3) = 20$ と $y(0) = -7$ を比較すると、$y(3) > y(0)$なので、$x \ge 0$ における最大値は $20$ です。

3. 最終的な答え

極大値：$20$

極小値：$-\frac{65}{3}$

$x \ge 0$ における最大値：$20$