関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であり、関数 $g(y)$ が $y=f(a)$ で連続であるとき、合成関数 $g(f(x))$ が $x=a$ で連続であることを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であり、関数 $g(y)$ が $y=f(a)$ で連続であるとき、合成関数 $g(f(x))$ が $x=a$ で連続であることを示す。

2. 解き方の手順

連続の定義を用いる。関数 $f$ が $x=a$ で連続であるとは、任意の正の数 $\epsilon_1$ に対して、ある正の数 $\delta_1$ が存在して、$|x-a| < \delta_1$ ならば $|f(x) - f(a)| < \epsilon_1$ が成り立つことである。同様に、関数 $g$ が $y=f(a)$ で連続であるとは、任意の正の数 $\epsilon$ に対して、ある正の数 $\delta$ が存在して、$|y - f(a)| < \delta$ ならば $|g(y) - g(f(a))| < \epsilon$ が成り立つことである。

合成関数 $g(f(x))$ が $x=a$ で連続であることを示すためには、任意の正の数 $\epsilon$ に対して、ある正の数 $\delta_2$ が存在して、$|x-a| < \delta_2$ ならば $|g(f(x)) - g(f(a))| < \epsilon$ が成り立つことを示せばよい。

$g(y)$ は $y=f(a)$ で連続なので、任意の $\epsilon > 0$ に対してある $\delta > 0$ が存在して、

$|y - f(a)| < \delta$ ならば $|g(y) - g(f(a))| < \epsilon$ が成り立つ。

$f(x)$ は $x=a$ で連続なので、この $\delta > 0$ に対してある $\delta_2 > 0$ が存在して、

$|x-a| < \delta_2$ ならば $|f(x) - f(a)| < \delta$ が成り立つ。

したがって、$|x-a| < \delta_2$ ならば $|f(x) - f(a)| < \delta$ であり、このとき $|g(f(x)) - g(f(a))| < \epsilon$ が成り立つ。

よって、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta_2 > 0$ が存在して、$|x-a| < \delta_2$ ならば $|g(f(x)) - g(f(a))| < \epsilon$ が成り立つので、$g(f(x))$ は $x=a$ で連続である。

3. 最終的な答え

合成関数 $w = g(f(x))$ は $x=a$ で連続である。