次の3つの命題を証明します。 (1) 収束列は有界列である。 (2) 有界列の任意の部分列も有界列である。 (3) 収束列の任意の部分列も収束列である。

1. 問題の内容

次の3つの命題を証明します。

(1) 収束列は有界列である。

(2) 有界列の任意の部分列も有界列である。

(3) 収束列の任意の部分列も収束列である。

2. 解き方の手順

(1) 収束列は有界列であることの証明

数列$\{a_n\}$が$a$に収束すると仮定します。

収束の定義より、任意の$\epsilon > 0$に対して、ある自然数$N$が存在し、$n > N$ならば、$|a_n - a| < \epsilon$が成り立ちます。

したがって、$n > N$ならば、$a - \epsilon < a_n < a + \epsilon$となります。

数列$\{a_n\}$の最初の$N$項、$a_1, a_2, ..., a_N$と、$a - \epsilon$および$a + \epsilon$の最大値と最小値を考えます。

$M = \max\{a_1, a_2, ..., a_N, a + \epsilon\}$とおき、$m = \min\{a_1, a_2, ..., a_N, a - \epsilon\}$とおくと、

任意の$n$に対して、$m \le a_n \le M$が成り立ちます。

したがって、数列$\{a_n\}$は有界です。

(2) 有界列の任意の部分列も有界列であることの証明

数列$\{a_n\}$が有界であると仮定します。これは、ある実数$m$と$M$が存在して、すべての$n$に対して$m \le a_n \le M$が成り立つことを意味します。

$\{a_{n_k}\}$を$\{a_n\}$の任意の部分列とします。

すると、すべての$k$に対して、$n_k$は自然数であり、したがって$m \le a_{n_k} \le M$が成り立ちます。

したがって、部分列$\{a_{n_k}\}$も有界です。

(3) 収束列の任意の部分列も収束列であることの証明

数列$\{a_n\}$が$a$に収束すると仮定します。

$\{a_{n_k}\}$を$\{a_n\}$の任意の部分列とします。

収束の定義より、任意の$\epsilon > 0$に対して、ある自然数$N$が存在し、$n > N$ならば、$|a_n - a| < \epsilon$が成り立ちます。

ここで、$n_k$は自然数の増加列なので、$k$を十分大きく取ると、$n_k > N$となります。

したがって、$k$を十分大きく取ると、$|a_{n_k} - a| < \epsilon$が成り立ちます。

これは、部分列$\{a_{n_k}\}$が$a$に収束することを意味します。

3. 最終的な答え

(1) 収束列は有界列である。

(2) 有界列の任意の部分列も有界列である。

(3) 収束列の任意の部分列も収束列である。