3次関数 $y = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12x - 7$ の極大値と極小値を求め、さらに $x \geq 0$ における最大値を求めよ。

1. 問題の内容

3次関数 $y = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12x - 7$ の極大値と極小値を求め、さらに $x \geq 0$ における最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、関数 $y$ を $x$ で微分して、導関数 $y'$ を求める。

$$y' = -2x^2 + 2x + 12$$

(2) 次に、$y' = 0$ となる $x$ の値を求める。これは極値の候補となる点である。

$$-2x^2 + 2x + 12 = 0$$

$$x^2 - x - 6 = 0$$

$$(x-3)(x+2) = 0$$

よって、$x = 3, -2$ が極値の候補となる。

(3) さらに、$y$ を $x$ で2回微分して、2階導関数 $y''$ を求める。

$$y'' = -4x + 2$$

(4) $x = 3$ と $x = -2$ における $y''$ の値を計算し、極大値と極小値を判断する。

- $x = 3$ のとき、$y'' = -4(3) + 2 = -10 < 0$ なので、$x = 3$ で極大となる。

- $x = -2$ のとき、$y'' = -4(-2) + 2 = 10 > 0$ なので、$x = -2$ で極小となる。

(5) それぞれの極値を与える $x$ の値を元の関数 $y$ に代入して、極大値と極小値を求める。

- $x = 3$ のとき、

$$y = -\frac{2}{3}(3)^3 + (3)^2 + 12(3) - 7 = -\frac{2}{3}(27) + 9 + 36 - 7 = -18 + 9 + 36 - 7 = 20$$

よって、極大値は $20$ である。

- $x = -2$ のとき、

$$y = -\frac{2}{3}(-2)^3 + (-2)^2 + 12(-2) - 7 = -\frac{2}{3}(-8) + 4 - 24 - 7 = \frac{16}{3} + 4 - 24 - 7 = \frac{16}{3} - 27 = \frac{16 - 81}{3} = -\frac{65}{3}$$

よって、極小値は $-\frac{65}{3}$ である。

(6) 次に、$x \geq 0$ における最大値を求める。

極大値を与える $x = 3$ は $x \geq 0$ の範囲に含まれる。

$x = 0$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(0)^3 + (0)^2 + 12(0) - 7 = -7$

$x \to \infty$ のとき、$y \to -\infty$

$x \geq 0$ の範囲において、極大値 $20$ が最大値の候補となる。また、$x=0$ のとき $y=-7$ である。したがって、$x \geq 0$ における最大値は、$x=3$ のときの極大値 $20$ である。

3. 最終的な答え

極大値: $20$

極小値: $-\frac{65}{3}$

$x \geq 0$ における最大値: $20$