3次関数 $y = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12x - 7$ の極大値と極小値を求め、さらに $x \geq 0$ における最大値を求めます。

1. 問題の内容

3次関数 $y = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12x - 7$ の極大値と極小値を求め、さらに $x \geq 0$ における最大値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 導関数を求める。

$y' = -2x^2 + 2x + 12$

(2) $y' = 0$ となる $x$ を求める。

$-2x^2 + 2x + 12 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3, -2$

(3) 第2次導関数を求める。

$y'' = -4x + 2$

(4) $x = 3$ のとき $y'' = -4(3) + 2 = -10 < 0$ なので、 $x = 3$ で極大値をとる。

極大値は $y(3) = -\frac{2}{3}(3)^3 + (3)^2 + 12(3) - 7 = -\frac{2}{3}(27) + 9 + 36 - 7 = -18 + 9 + 36 - 7 = 20$

(5) $x = -2$ のとき $y'' = -4(-2) + 2 = 10 > 0$ なので、 $x = -2$ で極小値をとる。

極小値は $y(-2) = -\frac{2}{3}(-2)^3 + (-2)^2 + 12(-2) - 7 = -\frac{2}{3}(-8) + 4 - 24 - 7 = \frac{16}{3} + 4 - 24 - 7 = \frac{16}{3} - 27 = \frac{16 - 81}{3} = -\frac{65}{3}$

(6) $x \geq 0$ における最大値を求める。

$x = 0$ のとき $y(0) = -7$

$x \to \infty$ のとき $y \to -\infty$

$x = 3$ のとき極大値 $y(3) = 20$

したがって、$x \geq 0$ における最大値は $20$ である。

3. 最終的な答え

極大値：$x=3$ のとき $20$

極小値：$x=-2$ のとき $-\frac{65}{3}$

$x \geq 0$ における最大値：$20$