与えられた3次関数 $y = -2x^3 + 15x^2 - 36x + 27$ の極大値と極小値を求める。

1. 問題の内容

与えられた3次関数 $y = -2x^3 + 15x^2 - 36x + 27$ の極大値と極小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 1階微分を計算し、それが0となる$x$の値を求める（極値をとる可能性のある$x$の値を見つける）。

$y' = \frac{dy}{dx} = -6x^2 + 30x - 36$

$y' = 0$ となる $x$ を求める：

$-6x^2 + 30x - 36 = 0$

$-6(x^2 - 5x + 6) = 0$

$-6(x-2)(x-3) = 0$

$x = 2, 3$

(2) 2階微分を計算し、$x = 2$ および $x = 3$ における2階微分の値を調べる。

$y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = -12x + 30$

$x = 2$ のとき：

$y''(2) = -12(2) + 30 = -24 + 30 = 6 > 0$

2階微分が正なので、$x = 2$ で極小値をとる。

$x = 3$ のとき：

$y''(3) = -12(3) + 30 = -36 + 30 = -6 < 0$

2階微分が負なので、$x = 3$ で極大値をとる。

(3) 極小値と極大値を求めるために、元の関数に $x = 2$ と $x = 3$ を代入する。

$x = 2$ のとき（極小値）：

$y(2) = -2(2)^3 + 15(2)^2 - 36(2) + 27 = -2(8) + 15(4) - 72 + 27 = -16 + 60 - 72 + 27 = -1$

$x = 3$ のとき（極大値）：

$y(3) = -2(3)^3 + 15(3)^2 - 36(3) + 27 = -2(27) + 15(9) - 108 + 27 = -54 + 135 - 108 + 27 = 0$

3. 最終的な答え

$x = 2$ で極小値 $-1$ をとる。

$x = 3$ で極大値 $0$ をとる。