次の2つの関数のグラフを書き、それぞれの定義域、値域、漸近線を求める問題です。 (1) $y = \frac{1}{x-1} + 2$ (2) $y = -\frac{2}{x+3}$

1. 問題の内容

次の2つの関数のグラフを書き、それぞれの定義域、値域、漸近線を求める問題です。

(1) $y = \frac{1}{x-1} + 2$

(2) $y = -\frac{2}{x+3}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x-1} + 2$ について

* グラフ：基本となる双曲線 $y = \frac{1}{x}$ をx軸方向に1、y軸方向に2だけ平行移動させたグラフになる。

* 定義域：分母が0にならないように、$x-1 \neq 0$ より、$x \neq 1$。したがって、定義域は $x < 1$ または $x > 1$となる。

* 値域：$\frac{1}{x-1}$ は $0$ にはならないので、$y = \frac{1}{x-1} + 2$ は $y = 2$ にはならない。したがって、値域は $y < 2$ または $y > 2$ となる。

* 漸近線：$x = 1$ と $y = 2$。

(2) $y = -\frac{2}{x+3}$ について

* グラフ：基本となる双曲線 $y = \frac{1}{x}$ をx軸方向に-3だけ平行移動させ、$y$軸方向に$-2$倍したもの。

* 定義域：分母が0にならないように、$x+3 \neq 0$ より、$x \neq -3$。したがって、定義域は $x < -3$ または $x > -3$となる。

* 値域：$-\frac{2}{x+3}$ は $0$ にはならないので、$y = -\frac{2}{x+3}$ は $y = 0$ にはならない。したがって、値域は $y < 0$ または $y > 0$ となる。

* 漸近線：$x = -3$ と $y = 0$。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{x-1} + 2$

* 定義域：$x < 1$ または $x > 1$

* 値域：$y < 2$ または $y > 2$

* 漸近線：$x = 1$, $y = 2$

(2) $y = -\frac{2}{x+3}$

* 定義域：$x < -3$ または $x > -3$

* 値域：$y < 0$ または $y > 0$

* 漸近線：$x = -3$, $y = 0$