与えられた関数について、第$n$次導関数を求める問題です。関数は以下の4つです。 (1) $y = \log(x+1)$ (2) $y = xe^x$ (3) $y = x^2 \sin x$ (4) $y = x \sin 2x$

1. 問題の内容

与えられた関数について、第$n$次導関数を求める問題です。関数は以下の4つです。

(1) $y = \log(x+1)$

(2) $y = xe^x$

(3) $y = x^2 \sin x$

(4) $y = x \sin 2x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \log(x+1)$ の場合:

まず、いくつかの導関数を計算して、規則性を見つけます。

$y' = \frac{1}{x+1} = (x+1)^{-1}$

$y'' = -1(x+1)^{-2}$

$y''' = (-1)(-2)(x+1)^{-3} = 2(x+1)^{-3}$

$y^{(4)} = 2(-3)(x+1)^{-4} = -6(x+1)^{-4}$

一般に、$y^{(n)} = (-1)^{n-1} (n-1)! (x+1)^{-n}$ と推測できます。

(2) $y = xe^x$ の場合:

$y' = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

$y'' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

$y''' = e^x + (x+2)e^x = (x+3)e^x$

一般に、$y^{(n)} = (x+n)e^x$ と推測できます。

(3) $y = x^2 \sin x$ の場合:

ライプニッツの公式を利用します。ライプニッツの公式は、

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

$u=x^2$, $v=\sin x$とすると、

$u'=2x$, $u''=2$, $u'''=0$

$y^{(n)} = \binom{n}{0} x^2 (\sin x)^{(n)} + \binom{n}{1} 2x (\sin x)^{(n-1)} + \binom{n}{2} 2 (\sin x)^{(n-2)}$

$(\sin x)^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$ なので、

$y^{(n)} = x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

(4) $y = x \sin 2x$ の場合:

ライプニッツの公式を利用します。

$u=x$, $v=\sin 2x$とすると、

$u'=1$, $u''=0$

$y^{(n)} = \binom{n}{0} x (\sin 2x)^{(n)} + \binom{n}{1} 1 (\sin 2x)^{(n-1)}$

$(\sin 2x)^{(n)} = 2^n \sin(2x + \frac{n\pi}{2})$ なので、

$y^{(n)} = x 2^n \sin(2x + \frac{n\pi}{2}) + n 2^{n-1} \sin(2x + \frac{(n-1)\pi}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{(x+1)^n}$

(2) $y^{(n)} = (x+n)e^x$

(3) $y^{(n)} = x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

(4) $y^{(n)} = x 2^n \sin(2x + \frac{n\pi}{2}) + n 2^{n-1} \sin(2x + \frac{(n-1)\pi}{2})$