次の2つの関数を積分する問題です。 (1) $\frac{x^2}{(2x-1)^2}$ (2) $xe^{-x^2}$

1. 問題の内容

次の2つの関数を積分する問題です。

(1) $\frac{x^2}{(2x-1)^2}$

(2) $xe^{-x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x^2}{(2x-1)^2}$ の積分

$\frac{x^2}{(2x-1)^2}$ を部分分数分解します。

$\frac{x^2}{(2x-1)^2} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{(2x-1)^2} + C$ とおきます。

$x^2 = A(2x-1) + B + C(2x-1)^2$

$x^2 = A(2x-1) + B + C(4x^2 - 4x + 1)$

$x^2 = 4Cx^2 + (2A - 4C)x + (-A + B + C)$

係数を比較して、

$4C = 1$, $2A - 4C = 0$, $-A + B + C = 0$

$C = \frac{1}{4}$

$2A = 4C = 1$ より $A = \frac{1}{2}$

$B = A - C = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

よって、$\frac{x^2}{(2x-1)^2} = \frac{1/2}{2x-1} + \frac{1/4}{(2x-1)^2} + \frac{1}{4}$

$\int \frac{x^2}{(2x-1)^2} dx = \int \left( \frac{1/2}{2x-1} + \frac{1/4}{(2x-1)^2} + \frac{1}{4} \right) dx$

$= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2x-1} dx + \frac{1}{4} \int \frac{1}{(2x-1)^2} dx + \frac{1}{4} \int dx$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \ln|2x-1| + \frac{1}{4} \cdot \frac{-1}{2(2x-1)} + \frac{1}{4}x + C$

$= \frac{1}{4} \ln|2x-1| - \frac{1}{8(2x-1)} + \frac{1}{4}x + C$

(2) $xe^{-x^2}$ の積分

$u = -x^2$ と置換します。

$du = -2x dx$

$x dx = -\frac{1}{2} du$

$\int xe^{-x^2} dx = \int e^u (-\frac{1}{2} du) = -\frac{1}{2} \int e^u du = -\frac{1}{2} e^u + C = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{x^2}{(2x-1)^2} dx = \frac{1}{4} \ln|2x-1| - \frac{1}{8(2x-1)} + \frac{1}{4}x + C$

(2) $\int xe^{-x^2} dx = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C$