次の2つの関数を積分する問題です。 (1) $(x + \frac{1}{x})^2$ (2) $x^3 + 3^x$

1. 問題の内容

次の2つの関数を積分する問題です。

(1) $(x + \frac{1}{x})^2$

(2) $x^3 + 3^x$

2. 解き方の手順

(1) $(x + \frac{1}{x})^2$ の積分

まず、式を展開します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + x^{-2}$

次に、各項を積分します。

$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1$

$\int 2 \, dx = 2x + C_2$

$\int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C_3 = -\frac{1}{x} + C_3$

したがって、

$\int (x^2 + 2 + x^{-2}) \, dx = \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x} + C$

(2) $x^3 + 3^x$ の積分

各項を積分します。

$\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C_1$

$\int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C_2$

したがって、

$\int (x^3 + 3^x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{3^x}{\ln 3} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x} + C$

(2) $\frac{x^4}{4} + \frac{3^x}{\ln 3} + C$