関数 $f(x) = \frac{1}{2+3x}$ の有限マクローリン展開について、以下の式を満たす $a_0, a_1, a_2, a_3$ の値と $f^{(3)}(\theta x)$ の式を求め、展開式を完成させる問題です。ただし、$0 < \theta < 1$ とします。 $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 f^{(3)}(\theta x) x^3$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{2+3x}$ の有限マクローリン展開について、以下の式を満たす $a_0, a_1, a_2, a_3$ の値と $f^{(3)}(\theta x)$ の式を求め、展開式を完成させる問題です。ただし、$0 < \theta < 1$ とします。

$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 f^{(3)}(\theta x) x^3$

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f(x) = (2+3x)^{-1}$

$f'(x) = -1(2+3x)^{-2} \cdot 3 = -3(2+3x)^{-2}$

$f''(x) = (-3)(-2)(2+3x)^{-3} \cdot 3 = 18(2+3x)^{-3}$

$f'''(x) = 18(-3)(2+3x)^{-4} \cdot 3 = -162(2+3x)^{-4}$

次に、マクローリン展開の係数を求めます。マクローリン展開は $x=0$ の周りのテイラー展開なので、$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ で求められます。

$a_0 = f(0) = \frac{1}{2+3(0)} = \frac{1}{2}$

$a_1 = f'(0) = -3(2+3(0))^{-2} = -\frac{3}{4}$

$a_2 = f''(0)/2! = \frac{18}{2(2^3)} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$

$a_3 = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$

$f^{(3)}(\theta x) = -162(2+3\theta x)^{-4}$

従って、マクローリン展開の式は以下のようになります。

$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}x + \frac{9}{8}x^2 + \frac{1}{6}f^{(3)}(\theta x)x^3$

$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}x + \frac{9}{8}x^2 + \frac{1}{6} (-162(2+3\theta x)^{-4})x^3$

$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}x + \frac{9}{8}x^2 - 27(2+3\theta x)^{-4}x^3$

$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}x + \frac{9}{8}x^2 - \frac{27x^3}{(2+3\theta x)^4}$

3. 最終的な答え

$a_0 = \frac{1}{2}$

$a_1 = -\frac{3}{4}$

$a_2 = \frac{9}{8}$

$f^{(3)}(\theta x) = -162(2+3\theta x)^{-4} = -\frac{162}{(2+3\theta x)^4}$

$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}x + \frac{9}{8}x^2 - \frac{27x^3}{(2+3\theta x)^4}$