以下の積分問題を解きます。 (1) $\int x^2 \log x \, dx$ (2) $\int \tan^{-1} x \, dx$ (3) $\int (x+1)e^x \, dx$ (4) $\int e^{2x} \sin 3x \, dx$ (5) $\int \sin^{-1} x \, dx$

1. 問題の内容

以下の積分問題を解きます。

(1) $\int x^2 \log x \, dx$

(2) $\int \tan^{-1} x \, dx$

(3) $\int (x+1)e^x \, dx$

(4) $\int e^{2x} \sin 3x \, dx$

(5) $\int \sin^{-1} x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x^2 \log x \, dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = x^2 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^3}{3}$ となります。

$\int x^2 \log x \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$

(2) $\int \tan^{-1} x \, dx$

部分積分を行います。$u = \tan^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$ となります。

$\int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$

$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ は、$t = 1+x^2$ と置換すると、$dt = 2x dx$ より、$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \log |t| + C = \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$

よって、$\int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$

(3) $\int (x+1)e^x \, dx$

$\int (x+1)e^x \, dx = \int xe^x \, dx + \int e^x \, dx$

$\int xe^x \, dx$ は、部分積分により、$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ より、

$\int xe^x \, dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C_1$

$\int e^x \, dx = e^x + C_2$

よって、$\int (x+1)e^x \, dx = xe^x - e^x + e^x + C = xe^x + C$

(4) $\int e^{2x} \sin 3x \, dx$

部分積分を2回行います。

$I = \int e^{2x} \sin 3x \, dx$

$u = \sin 3x$, $dv = e^{2x} dx$ とすると、$du = 3\cos 3x \, dx$, $v = \frac{1}{2} e^{2x}$ となります。

$I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{2} \int e^{2x} \cos 3x \, dx$

次に、$\int e^{2x} \cos 3x \, dx$ を計算します。

$u = \cos 3x$, $dv = e^{2x} dx$ とすると、$du = -3\sin 3x \, dx$, $v = \frac{1}{2} e^{2x}$ となります。

$\int e^{2x} \cos 3x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos 3x + \frac{3}{2} \int e^{2x} \sin 3x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos 3x + \frac{3}{2} I$

$I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} e^{2x} \cos 3x + \frac{3}{2} I)$

$I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{4} e^{2x} \cos 3x - \frac{9}{4} I$

$\frac{13}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{4} e^{2x} \cos 3x$

$I = \frac{4}{13} (\frac{1}{2} e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{4} e^{2x} \cos 3x) = \frac{2}{13} e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{13} e^{2x} \cos 3x + C = \frac{e^{2x}}{13} (2\sin 3x - 3\cos 3x) + C$

(5) $\int \sin^{-1} x \, dx$

部分積分を行います。$u = \sin^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$, $v = x$ となります。

$\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ は、$t = 1-x^2$ と置換すると、$dt = -2x dx$ より、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

よって、$\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x^2 \log x \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$

(2) $\int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$

(3) $\int (x+1)e^x \, dx = xe^x + C$

(4) $\int e^{2x} \sin 3x \, dx = \frac{e^{2x}}{13} (2\sin 3x - 3\cos 3x) + C$

(5) $\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$