与えられた12個の関数を微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた12個の関数を微分する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = \cos(3x)$

合成関数の微分を行います。$\frac{d}{dx} \cos(u) = -\sin(u) \frac{du}{dx}$を利用します。

$y' = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)$

(2) $y = \tan(4x)$

合成関数の微分を行います。$\frac{d}{dx} \tan(u) = \frac{1}{\cos^2(u)} \frac{du}{dx}$を利用します。

$y' = \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot 4 = \frac{4}{\cos^2(4x)} = 4\sec^2(4x)$

(3) $y = \tan^4(x)$

$y = (\tan x)^4$と解釈します。合成関数の微分を行います。

$y' = 4(\tan x)^3 \cdot \frac{1}{\cos^2(x)} = 4\tan^3(x)\sec^2(x)$

(4) $y = \sin(3x)\cos(5x)$

積の微分を行います。$(uv)' = u'v + uv'$を利用します。

$y' = 3\cos(3x)\cos(5x) - 5\sin(3x)\sin(5x)$

(5) $y = \log(4x)$

合成関数の微分を行います。$\frac{d}{dx} \log(u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$を利用します。

$y' = \frac{1}{4x} \cdot 4 = \frac{1}{x}$

(6) $y = x^2\log(x)$

積の微分を行います。$(uv)' = u'v + uv'$を利用します。

$y' = 2x\log(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\log(x) + x$

(7) $y = \log(\sqrt{x+1})$

合成関数の微分を行います。$\frac{d}{dx} \log(u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$と$\frac{d}{dx}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \frac{du}{dx}$を利用します。

$y' = \frac{1}{\sqrt{x+1}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \cdot 1 = \frac{1}{2(x+1)}$

(8) $y = e^{5x}$

合成関数の微分を行います。$\frac{d}{dx} e^u = e^u \frac{du}{dx}$を利用します。

$y' = e^{5x} \cdot 5 = 5e^{5x}$

(9) $y = (x+1)e^x$

積の微分を行います。$(uv)' = u'v + uv'$を利用します。

$y' = 1 \cdot e^x + (x+1)e^x = e^x + xe^x + e^x = xe^x + 2e^x = (x+2)e^x$

(10) $y = e^{x\log x}$

合成関数の微分を行います。$\frac{d}{dx} e^u = e^u \frac{du}{dx}$を利用します。

まず、$u = x\log x$の微分を計算します。$\frac{du}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$y' = e^{x\log x} (\log x + 1)$

(11) $y = \log(x + \sqrt{x^2+4})$

合成関数の微分を行います。$\frac{d}{dx} \log(u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$を利用します。

$u = x + \sqrt{x^2+4}$

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+4}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} = \frac{\sqrt{x^2+4} + x}{\sqrt{x^2+4}}$

$y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+4}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2+4}}{\sqrt{x^2+4}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}$

(12) $y = \sqrt{1 + \cos^2(x)}$

合成関数の微分を行います。$\frac{d}{dx} \sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \frac{du}{dx}$を利用します。

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1 + \cos^2 x}} \cdot (2\cos x) \cdot (-\sin x) = \frac{-\cos x \sin x}{\sqrt{1 + \cos^2 x}} = \frac{-\frac{1}{2}\sin(2x)}{\sqrt{1 + \cos^2 x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -3\sin(3x)$

(2) $y' = 4\sec^2(4x)$

(3) $y' = 4\tan^3(x)\sec^2(x)$

(4) $y' = 3\cos(3x)\cos(5x) - 5\sin(3x)\sin(5x)$

(5) $y' = \frac{1}{x}$

(6) $y' = 2x\log(x) + x$

(7) $y' = \frac{1}{2(x+1)}$

(8) $y' = 5e^{5x}$

(9) $y' = (x+2)e^x$

(10) $y' = e^{x\log x}(\log x + 1)$

(11) $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}$

(12) $y' = \frac{-\cos x \sin x}{\sqrt{1 + \cos^2 x}}$