関数 $f(x) = -\sin x + \sqrt{3}\cos x$ が与えられている。まず、$f(x)$ を $A\sin(x + B)$ の形に変形する。次に、$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、不等式 $f(x) \ge \sqrt{2}$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\sin x + \sqrt{3}\cos x$ が与えられている。まず、$f(x)$ を $A\sin(x + B)$ の形に変形する。次に、$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、不等式 $f(x) \ge \sqrt{2}$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: $f(x)$ を合成する。

$f(x) = -\sin x + \sqrt{3} \cos x$

$f(x) = 2 \left(-\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$

$f(x) = 2 \left( \cos \frac{2}{3}\pi \sin x + \sin \frac{2}{3}\pi \cos x \right)$

$f(x) = 2 \sin \left( x + \frac{2}{3}\pi \right)$

ステップ2: 不等式 $f(x) \ge \sqrt{2}$ を解く。

$2 \sin \left( x + \frac{2}{3}\pi \right) \ge \sqrt{2}$

$\sin \left( x + \frac{2}{3}\pi \right) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ なので、$\frac{2}{3}\pi \le x + \frac{2}{3}\pi < \frac{8}{3}\pi$

$\frac{\pi}{4} \le x + \frac{2}{3}\pi \le \frac{3}{4}\pi$ or $\frac{9}{4}\pi \le x + \frac{2}{3}\pi \le \frac{11}{4}\pi$

$\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}\pi \le x \le \frac{3}{4}\pi - \frac{2}{3}\pi$

$\frac{3\pi - 8\pi}{12} \le x \le \frac{9\pi - 8\pi}{12}$

$-\frac{5}{12}\pi \le x \le \frac{1}{12}\pi$

$\frac{9}{4}\pi - \frac{2}{3}\pi \le x \le \frac{11}{4}\pi - \frac{2}{3}\pi$

$\frac{27\pi - 8\pi}{12} \le x \le \frac{33\pi - 8\pi}{12}$

$\frac{19}{12}\pi \le x \le \frac{25}{12}\pi$

$0 \le x < 2\pi$ なので、

$0 \le x \le \frac{1}{12}\pi$

$\frac{19}{12}\pi \le x < 2\pi$

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 2

ウ = 3

エ = 0

オ = 1

カキ = 12

クケ = 19

コサ = 12

シ = 2π

$0 \le x \le \frac{1}{12}\pi$, $\frac{19}{12}\pi \le x < 2\pi$