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$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ ($\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi$) のとき、$\sin 2\theta$, $\cos \theta - \sin \theta$, $\cos 2\theta$, $\tan 2\theta$, $\sin (\theta + \frac{3}{4}\pi)$ を求めよ。

解析学三角関数加法定理三角関数の合成
2025/7/8

1. 問題の内容

sin⁡θ+cos⁡θ=12\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} (π2≤θ≤π\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi) のとき、sin⁡2θ\sin 2\theta, cos⁡θ−sin⁡θ\cos \theta - \sin \theta, cos⁡2θ\cos 2\theta, tan⁡2θ\tan 2\theta, sin⁡(θ+34π)\sin (\theta + \frac{3}{4}\pi) を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件 sin⁡θ+cos⁡θ=12\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} を利用して、(sin⁡θ+cos⁡θ)2(\sin \theta + \cos \theta)^2 を計算する。
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=1+2sin⁡θcos⁡θ=1+sin⁡2θ(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 + \sin 2\theta
与えられた条件より、 (sin⁡θ+cos⁡θ)2=(12)2=14(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}
したがって、1+sin⁡2θ=141 + \sin 2\theta = \frac{1}{4} なので、sin⁡2θ=14−1=−34\sin 2\theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}
次に、cos⁡θ−sin⁡θ\cos \theta - \sin \theta を求める。
(cos⁡θ−sin⁡θ)2=cos⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ+sin⁡2θ=1−2sin⁡θcos⁡θ=1−sin⁡2θ(\cos \theta - \sin \theta)^2 = \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \sin^2 \theta = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta = 1 - \sin 2\theta
sin⁡2θ=−34\sin 2\theta = -\frac{3}{4} を代入すると、(cos⁡θ−sin⁡θ)2=1−(−34)=1+34=74(\cos \theta - \sin \theta)^2 = 1 - (-\frac{3}{4}) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}
π2≤θ≤π\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi なので、cos⁡θ≤0\cos \theta \le 0 かつ sin⁡θ≥0\sin \theta \ge 0。したがって、cos⁡θ−sin⁡θ≤0\cos \theta - \sin \theta \le 0。
よって、cos⁡θ−sin⁡θ=−74=−72\cos \theta - \sin \theta = -\sqrt{\frac{7}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{2}
次に、cos⁡2θ\cos 2\theta を求める。
cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=(cos⁡θ−sin⁡θ)(cos⁡θ+sin⁡θ)=(−72)(12)=−74\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = (\cos \theta - \sin \theta)(\cos \theta + \sin \theta) = (-\frac{\sqrt{7}}{2})(\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{7}}{4}
次に、tan⁡2θ\tan 2\theta を求める。
tan⁡2θ=sin⁡2θcos⁡2θ=−34−74=37=377\tan 2\theta = \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} = \frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}
最後に、sin⁡(θ+34π)\sin (\theta + \frac{3}{4}\pi) を求める。
sin⁡(θ+34π)=sin⁡θcos⁡34π+cos⁡θsin⁡34π=sin⁡θ(−12)+cos⁡θ(12)=12(cos⁡θ−sin⁡θ)=12(−72)=−722=−144\sin (\theta + \frac{3}{4}\pi) = \sin \theta \cos \frac{3}{4}\pi + \cos \theta \sin \frac{3}{4}\pi = \sin \theta (-\frac{1}{\sqrt{2}}) + \cos \theta (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos \theta - \sin \theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} (-\frac{\sqrt{7}}{2}) = -\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{14}}{4}

3. 最終的な答え

sin⁡2θ=−34\sin 2\theta = -\frac{3}{4}
cos⁡θ−sin⁡θ=−72\cos \theta - \sin \theta = -\frac{\sqrt{7}}{2}
cos⁡2θ=−74\cos 2\theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}
tan⁡2θ=377\tan 2\theta = \frac{3\sqrt{7}}{7}
sin⁡(θ+34π)=−144\sin (\theta + \frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{14}}{4}

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