関数 $f(x) = -\sin x + \sqrt{3} \cos x$ を合成して、$f(x) = A \sin (x + \frac{I}{U} \pi)$ の形に変形し、不等式 $f(x) \ge \sqrt{2}$ を満たす $x$ の範囲を $0 \le x < 2\pi$ で求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\sin x + \sqrt{3} \cos x$ を合成して、$f(x) = A \sin (x + \frac{I}{U} \pi)$ の形に変形し、不等式 $f(x) \ge \sqrt{2}$ を満たす $x$ の範囲を $0 \le x < 2\pi$ で求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を合成します。

$f(x) = -\sin x + \sqrt{3} \cos x$

$f(x) = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} \sin(x + \alpha)$ (ただし、$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$)

$f(x) = 2 \sin(x + \alpha)$

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$ より、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$

$f(x) = 2 \sin(x - \frac{\pi}{6})$

よって、$A = 2$, $\frac{I}{U} = -\frac{1}{6}$ であるから，$I = -1$, $U = 6$

ここで、$0 \le \frac{I}{U}\pi < 2\pi$ である必要があるので、 $I = 11$ , $U = 6$ とすればよい。

次に、不等式 $f(x) \ge \sqrt{2}$ を解きます。

$2 \sin(x - \frac{\pi}{6}) \ge \sqrt{2}$

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} < 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$

$\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は、$\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{3\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4} \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \le x \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}$

$\frac{3\pi + 2\pi}{12} \le x \le \frac{9\pi + 2\pi}{12}$

$\frac{5\pi}{12} \le x \le \frac{11\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$A = 2$

$I = -1$ または $11$

$U = 6$

$エ = 5$

$オ = 5$

$カ = 1$

$キ = 2$

$ク = 1$

$ケ = 1$

$コ = 1$

$サ = 2$

$シ = 11/6 * 6/6 = 11/6$ または $シ = 2$

$5/12 \pi \le x \le 11/12 \pi$.

また、選択肢として考えられるのは、$I = -1, U = 6$ と、$I = 11, U = 6$ である。

したがって、$f(x) = 2 \sin (x - \pi/6)$ または $f(x) = 2 \sin (x + 11\pi/6)$ である。

よって、求める答えは以下の通り。

$f(x) = 2 \sin (x - \frac{\pi}{6})$

$5/12 \pi \le x \le 11/12 \pi$

$I=1$

$U=6$

$エ = 5$

$オ = 5$

$カ = 1$

$キ = 2$

$ク = 1$

$ケ = 1$

$コ = 1$

$サ = 2$

$シ = \frac{11}{12}$

$5/12 \pi \le x \le 11/12 \pi$

---

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\sin x + \sqrt{3} \cos x$ を $f(x) = \boxed{ア} \sin \left( x + \frac{\boxed{イ}}{\boxed{ウ}} \pi \right)$ の形に変形し、条件 $0 \le \frac{\boxed{イ}}{\boxed{ウ}} \pi < 2\pi$ のもとで、不等式 $f(x) \ge \sqrt{2}$ を満たす $x$ の範囲を $0 \le x < 2\pi$ で求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = -\sin x + \sqrt{3} \cos x$ を合成する。

$f(x) = 2 \left( -\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = 2 \sin (x + \alpha)$ とおく。

ここで、$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$ となる $\alpha$ を求めると、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$ である。

したがって、$f(x) = 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right)$ となる。このとき、$0 \le x < 2\pi$ である。

$\frac{\boxed{イ}}{\boxed{ウ}} \pi = -\frac{\pi}{6}$ なので、条件 $0 \le \frac{\boxed{イ}}{\boxed{ウ}} \pi < 2\pi$ より、$\frac{\boxed{イ}}{\boxed{ウ}} \pi = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11}{6} \pi$ である。

よって、$\boxed{ア}=2$, $\boxed{イ}=11$, $\boxed{ウ}=6$。

次に、不等式 $f(x) \ge \sqrt{2}$ を解く。

$2 \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \ge \sqrt{2}$

$\sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x - \frac{\pi}{6} = \theta$ とおくと、$\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる。

$-\frac{\pi}{6} \le \theta < 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11}{6} \pi$ である。

$\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{3\pi}{4}$ である。

よって、$\frac{\pi}{4} \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{4}$ となる。

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \le x \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{12} \le x \le \frac{11\pi}{12}$

したがって、$\boxed{エ}=5$, $\frac{\boxed{オ}}{\boxed{カキ}} = \frac{5}{12}$, $\frac{\boxed{クケ}}{\boxed{コサ}} = \frac{11}{12}$, $\boxed{シ} = \frac{11}{12}$。

3. 最終的な答え

$\boxed{ア}=2$, $\boxed{イ}=11$, $\boxed{ウ}=6$

$\boxed{エ}=5$, $\frac{\boxed{オ}}{\boxed{カキ}} = \frac{5}{12}$, $\frac{\boxed{クケ}}{\boxed{コサ}} = \frac{11}{12}$, $\boxed{シ} = \frac{11}{12}$

$5/12 \pi \le x \le 11/12 \pi$