関数 $f(x) = 2\cos x + \sin 2x$ の $0 \leq x \leq 2\pi$ における極大値と極小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2\cos x + \sin 2x$ の $0 \leq x \leq 2\pi$ における極大値と極小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ より、

$f(x) = 2 \cos x + 2 \sin x \cos x$

$f'(x) = -2 \sin x + 2 \cos x \cos x + 2 \sin x (-\sin x)$

$f'(x) = -2 \sin x + 2 \cos^2 x - 2 \sin^2 x$

$f'(x) = -2 \sin x + 2 (1-\sin^2 x) - 2 \sin^2 x$

$f'(x) = -2 \sin x + 2 - 4 \sin^2 x$

$f'(x) = -4 \sin^2 x - 2 \sin x + 2$

$f'(x) = -2(2 \sin^2 x + \sin x - 1)$

$f'(x) = -2 (2 \sin x - 1) (\sin x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$\sin x = \frac{1}{2}$ または $\sin x = -1$ のときです。

$\sin x = \frac{1}{2}$ となる $0 \leq x \leq 2\pi$ の範囲の $x$ の値は、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ です。

$\sin x = -1$ となる $0 \leq x \leq 2\pi$ の範囲の $x$ の値は、$x = \frac{3\pi}{2}$ です。

次に、$f'(x)$ の符号を調べます。

$0 < x < \frac{\pi}{6}$ のとき、$\sin x < \frac{1}{2}$ であり、$\sin x > -1$ なので、$2\sin x - 1 < 0$ かつ $\sin x + 1 > 0$ となるから、$f'(x) > 0$

$\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$ のとき、$\sin x > \frac{1}{2}$ であり、$\sin x > -1$ なので、$2\sin x - 1 > 0$ かつ $\sin x + 1 > 0$ となるから、$f'(x) < 0$

$\frac{5\pi}{6} < x < \frac{3\pi}{2}$ のとき、$\sin x < -1$ はない。$-1 \leq \sin x < \frac{1}{2}$ となり、$2\sin x - 1 < 0$ かつ $\sin x + 1 > 0$ となるから、$f'(x) > 0$

$\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$ のとき、$\sin x > -1$ であり、$\sin x < \frac{1}{2}$ より、$2\sin x - 1 < 0$ かつ $\sin x + 1 > 0$ となるから、$f'(x) > 0$

$x = \frac{\pi}{6}$ のとき、$f'(x)$ の符号は正から負に変わるので極大値をとります。

$x = \frac{5\pi}{6}$ のとき、$f'(x)$ の符号は負から正に変わるので極小値をとります。

$x = \frac{\pi}{6}$ のとき、

$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{5\pi}{6}$ のとき、

$f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 2 \cos \frac{5\pi}{6} + \sin \frac{5\pi}{3} = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

したがって、$x = \frac{1}{6} \pi$ のとき極大値 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ をとり、$x = \frac{5}{6} \pi$ のとき極小値 $-\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ をとる。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{6} \pi$ のとき極大値 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ をとる。

$x = \frac{5}{6} \pi$ のとき極小値 $-\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ をとる。