一般項が $a_n = \frac{5^n + 9^{n+1}}{32^n}$ である数列の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

一般項が $a_n = \frac{5^n + 9^{n+1}}{32^n}$ である数列の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた一般項を以下のように変形します。

$$a_n = \frac{5^n + 9^{n+1}}{32^n} = \frac{5^n + 9 \cdot 9^n}{32^n} = \frac{5^n}{32^n} + \frac{9 \cdot 9^n}{32^n} = \left(\frac{5}{32}\right)^n + 9\left(\frac{9}{32}\right)^n$$

ここで、$r_1 = \frac{5}{32}$ と $r_2 = \frac{9}{32}$ とおくと、

$$a_n = r_1^n + 9r_2^n$$

$|r_1| < 1$ かつ $|r_2| < 1$ であるため、$\lim_{n \to \infty} r_1^n = 0$ かつ $\lim_{n \to \infty} r_2^n = 0$ が成り立ちます。

したがって、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left[ \left(\frac{5}{32}\right)^n + 9\left(\frac{9}{32}\right)^n \right] = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{5}{32}\right)^n + 9 \lim_{n \to \infty} \left(\frac{9}{32}\right)^n = 0 + 9 \cdot 0 = 0$$

3. 最終的な答え

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