与えられた関数 $f(x,y) = -4x^2 - 12xy + 8x - y^3 - 12y$ の極値を求める問題です。具体的には、偏微分 $f_x(x,y)=0$ および $f_y(x,y)=0$ を満たす点 $(x,y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ を求め、それぞれの点におけるヘッセ行列を計算し、極大値、極小値、または鞍点であるかを判定します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x,y) = -4x^2 - 12xy + 8x - y^3 - 12y$ の極値を求める問題です。具体的には、偏微分 $f_x(x,y)=0$ および $f_y(x,y)=0$ を満たす点 $(x,y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ を求め、それぞれの点におけるヘッセ行列を計算し、極大値、極小値、または鞍点であるかを判定します。

2. 解き方の手順

まず、偏微分を計算します。

$f_x(x,y) = -8x - 12y + 8$

$f_y(x,y) = -12x - 3y^2 - 12$

$f_x(x,y) = 0$ と $f_y(x,y) = 0$ を連立させて解きます。

$-8x - 12y + 8 = 0 \implies 2x + 3y - 2 = 0 \implies x = \frac{2 - 3y}{2}$

$-12x - 3y^2 - 12 = 0 \implies 4x + y^2 + 4 = 0$

$x = \frac{2 - 3y}{2}$ を $4x + y^2 + 4 = 0$ に代入すると、

$4(\frac{2 - 3y}{2}) + y^2 + 4 = 0$

$2(2 - 3y) + y^2 + 4 = 0$

$4 - 6y + y^2 + 4 = 0$

$y^2 - 6y + 8 = 0$

$(y - 2)(y - 4) = 0$

したがって、$y = 2, 4$。

$y = 2$ のとき、$x = \frac{2 - 3(2)}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$。

$y = 4$ のとき、$x = \frac{2 - 3(4)}{2} = \frac{2 - 12}{2} = -5$。

よって、$(\alpha_1, \beta_1) = (-2, 2)$、$(\alpha_2, \beta_2) = (-5, 4)$。

次に、ヘッセ行列を計算します。

$f_{xx}(x,y) = -8$

$f_{yy}(x,y) = -6y$

$f_{xy}(x,y) = -12$

$f_{yx}(x,y) = -12$

ヘッセ行列 $H(x,y) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & -12 \\ -12 & -6y \end{pmatrix}$

ヘッセ行列式 $|H(x,y)| = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}f_{yx} = (-8)(-6y) - (-12)(-12) = 48y - 144$

$(x,y) = (-2, 2)$ のとき、

$f_{xx}(-2, 2) = -8$

$|H(-2, 2)| = 48(2) - 144 = 96 - 144 = -48$

$|H(-2, 2)| < 0$ なので、ヘッセ行列は不定値であり、点 $(-2, 2)$ は鞍点です。

$(x,y) = (-5, 4)$ のとき、

$f_{xx}(-5, 4) = -8$

$|H(-5, 4)| = 48(4) - 144 = 192 - 144 = 48$

$|H(-5, 4)| > 0$ かつ $f_{xx} < 0$ なので、ヘッセ行列は負定値であり、点 $(-5, 4)$ は極大値です。

3. 最終的な答え

$\alpha_1 = -2$、$\beta_1 = 2$

$\alpha_2 = -5$、$\beta_2 = 4$

$(x,y) = (-2, 2)$ のとき、

$f_{xx}(-2, 2) = -8$

$|H(-2, 2)| = -48$

ヘッセ行列は不定値であるから鞍点となる。

$(x,y) = (-5, 4)$ のとき、

$f_{xx}(-5, 4) = -8$

$|H(-5, 4)| = 48$

ヘッセ行列は負定値であるから極大となる。