与えられた関数 $f(x)$ について、平均値の定理 $f(b) = f(a) + (b-a)f'(c)$ を満たす $c$ を、$a$ と $b$ を用いて表す問題です。ただし、$a < c < b$を満たす必要があります。与えられた関数は以下の2つです。 (a) $f(x) = x^2$ (b) $f(x) = 2\sqrt{x}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、平均値の定理 $f(b) = f(a) + (b-a)f'(c)$ を満たす $c$ を、$a$ と $b$ を用いて表す問題です。ただし、$a < c < b$を満たす必要があります。与えられた関数は以下の2つです。

(a) $f(x) = x^2$

(b) $f(x) = 2\sqrt{x}$

2. 解き方の手順

(a) $f(x) = x^2$ の場合

1. 導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 2x$

2. 平均値の定理の式に代入します。

$f(b) = b^2$

$f(a) = a^2$

$f'(c) = 2c$

したがって、$b^2 = a^2 + (b-a)(2c)$

3. $c$ について解きます。

$b^2 = a^2 + 2bc - 2ac$

$b^2 - a^2 = 2c(b-a)$

$(b-a)(b+a) = 2c(b-a)$

$c = \frac{a+b}{2}$

4. $a < c < b$ を確認します。$a < b$ であるとき、$a < \frac{a+b}{2} < b$ が成り立ちます。

(b) $f(x) = 2\sqrt{x}$ の場合

1. 導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

2. 平均値の定理の式に代入します。

$f(b) = 2\sqrt{b}$

$f(a) = 2\sqrt{a}$

$f'(c) = \frac{1}{\sqrt{c}}$

したがって、$2\sqrt{b} = 2\sqrt{a} + (b-a)\frac{1}{\sqrt{c}}$

3. $c$ について解きます。

$2\sqrt{b} - 2\sqrt{a} = \frac{b-a}{\sqrt{c}}$

$\sqrt{c} = \frac{b-a}{2(\sqrt{b} - \sqrt{a})}$

$\sqrt{c} = \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{2(\sqrt{b} - \sqrt{a})}$

$\sqrt{c} = \frac{\sqrt{b} + \sqrt{a}}{2}$

$c = (\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2})^2$

$c = \frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{4}$

3. 最終的な答え

(a) $c = \frac{a+b}{2}$

(b) $c = \frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{4}$