与えられた関数 $f(x) = x^2 - 3x$ が区間 $I = [0, 3]$ でロルの定理を満たすとき、$f'(c) = 0$ となる $c$ を区間 $(0, 3)$ 内で求める。

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5. 次の関数 $f(x)$ は閉区間 $I$ においてロルの定理をみたしている。この区間 $I$ 内で $f'(c) = 0$ となる $c$ を求めよ。

**(a) $f(x) = x^2 - 3x$, $I = [0, 3]$**

1. **問題の内容**

与えられた関数 $f(x) = x^2 - 3x$ が区間 $I = [0, 3]$ でロルの定理を満たすとき、$f'(c) = 0$ となる $c$ を区間 $(0, 3)$ 内で求める。

2. **解き方の手順**

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 2x - 3$

次に、$f'(c) = 0$ となる $c$ を求める。

$2c - 3 = 0$

$2c = 3$

$c = \frac{3}{2}$

$c = \frac{3}{2}$ が区間 $(0, 3)$ 内にあることを確認する。$\frac{3}{2} = 1.5$ なので、確かに $(0, 3)$ 内にある。

3. **最終的な答え**

$c = \frac{3}{2}$

**(b) $f(x) = x^3 - 3x$, $I = [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$**

1. **問題の内容**

与えられた関数 $f(x) = x^3 - 3x$ が区間 $I = [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$ でロルの定理を満たすとき、$f'(c) = 0$ となる $c$ を区間 $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ 内で求める。

2. **解き方の手順**

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 3$

次に、$f'(c) = 0$ となる $c$ を求める。

$3c^2 - 3 = 0$

$3c^2 = 3$

$c^2 = 1$

$c = \pm 1$

$c = 1$ と $c = -1$ が区間 $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ 内にあることを確認する。$\sqrt{3} \approx 1.732$ なので、$1$ と $-1$ は確かに $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ 内にある。

3. **最終的な答え**

$c = \pm 1$

**(c) $f(x) = \sin x$, $I = [0, \pi]$**

1. **問題の内容**

与えられた関数 $f(x) = \sin x$ が区間 $I = [0, \pi]$ でロルの定理を満たすとき、$f'(c) = 0$ となる $c$ を区間 $(0, \pi)$ 内で求める。

2. **解き方の手順**

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = \cos x$

次に、$f'(c) = 0$ となる $c$ を求める。

$\cos c = 0$

$c = \frac{\pi}{2}$

$c = \frac{\pi}{2}$ が区間 $(0, \pi)$ 内にあることを確認する。$\frac{\pi}{2}$ は確かに $(0, \pi)$ 内にある。

3. **最終的な答え**

$c = \frac{\pi}{2}$

**(d) $f(x) = \cos x$, $I = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$**

1. **問題の内容**

与えられた関数 $f(x) = \cos x$ が区間 $I = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ でロルの定理を満たすとき、$f'(c) = 0$ となる $c$ を区間 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 内で求める。

2. **解き方の手順**

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = -\sin x$

次に、$f'(c) = 0$ となる $c$ を求める。

$-\sin c = 0$

$\sin c = 0$

$c = 0$

$c = 0$ が区間 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 内にあることを確認する。$0$ は確かに $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 内にある。

3. **最終的な答え**

$c = 0$