与えられた関数 $f(x, y)$ の2階偏導関数を求める問題です。関数は以下の3つです。 (1) $f(x, y) = x^3 + 2xy^2$ (2) $f(x, y) = (x+y)e^x$ (3) $f(x, y) = (\sin x)^2 \cos y$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ の2階偏導関数を求める問題です。関数は以下の3つです。

(1) $f(x, y) = x^3 + 2xy^2$

(2) $f(x, y) = (x+y)e^x$

(3) $f(x, y) = (\sin x)^2 \cos y$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の順で2階偏導関数を計算します。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$, $f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$, $f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

(1) $f(x, y) = x^3 + 2xy^2$

まず1階偏導関数を計算します。

$f_x = 3x^2 + 2y^2$

$f_y = 4xy$

次に2階偏導関数を計算します。

$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2 + 2y^2) = 6x$

$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} (4xy) = 4x$

$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 + 2y^2) = 4y$

$f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x} (4xy) = 4y$

(2) $f(x, y) = (x+y)e^x$

まず1階偏導関数を計算します。

$f_x = e^x + (x+y)e^x = (x+y+1)e^x$

$f_y = e^x$

次に2階偏導関数を計算します。

$f_{xx} = e^x + (x+y+1)e^x = (x+y+2)e^x$

$f_{yy} = 0$

$f_{xy} = e^x$

$f_{yx} = e^x$

(3) $f(x, y) = (\sin x)^2 \cos y$

まず1階偏導関数を計算します。

$f_x = 2 \sin x \cos x \cos y = \sin 2x \cos y$

$f_y = -(\sin x)^2 \sin y$

次に2階偏導関数を計算します。

$f_{xx} = 2 \cos 2x \cos y$

$f_{yy} = -(\sin x)^2 \cos y$

$f_{xy} = -\sin 2x \sin y$

$f_{yx} = -2 \sin x \cos x \sin y = -\sin 2x \sin y$

3. 最終的な答え

(1)

$f_{xx} = 6x$

$f_{yy} = 4x$

$f_{xy} = 4y$

$f_{yx} = 4y$

(2)

$f_{xx} = (x+y+2)e^x$

$f_{yy} = 0$

$f_{xy} = e^x$

$f_{yx} = e^x$

(3)

$f_{xx} = 2 \cos 2x \cos y$

$f_{yy} = -(\sin x)^2 \cos y$

$f_{xy} = -\sin 2x \sin y$

$f_{yx} = -\sin 2x \sin y$