与えられた2つの二変数関数の、原点(0,0)における極限が存在するかどうかを調べ、存在する場合は極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^3}{x^4 + y^4}$ (2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x(e^y - 1)}{(\log(1+x))^2 + y^2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの二変数関数の、原点(0,0)における極限が存在するかどうかを調べ、存在する場合は極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^3}{x^4 + y^4}$

(2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x(e^y - 1)}{(\log(1+x))^2 + y^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^3}{x^4 + y^4}$ について

まず、$y=mx$に沿って原点に近づく場合を考えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 (mx)^3}{x^4 + (mx)^4} = \lim_{x \to 0} \frac{m^3 x^5}{x^4(1+m^4)} = \lim_{x \to 0} \frac{m^3 x}{1+m^4} = 0$

次に、$x^2=y$という放物線に沿って原点に近づく場合を考えます。

$\lim_{y \to 0} \frac{y \cdot y^3}{y^2 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^4}{y^2 (1+y^2)} = \lim_{y \to 0} \frac{y^2}{1+y^2} = 0$

次に、$x=y$に沿って原点に近づく場合を考えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{x^5}{2x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0$

次に、$y^2=x$に沿って原点に近づく場合を考えます。

$\lim_{y \to 0} \frac{y^4 y^3}{y^8 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^7}{y^4(y^4+1)} = \lim_{y \to 0} \frac{y^3}{y^4+1} = 0$

$y=x^2$に沿って近づけたとき0になります。

次に、$x^4 = y^4$ (つまり、$x = \pm y$) の場合を考えます。$x = y$の場合、$x^2y^3/(x^4+y^4) = x^5/(2x^4) = x/2 \to 0$ となります。

しかし、$x = \pm y$以外の任意の経路で原点に近づけた際に、極限が0にならない可能性があります。例えば、$y = x^{1/2}$の場合、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 (x^{1/2})^3}{x^4 + (x^{1/2})^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{7/2}}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{3/2} = 0$

しかし、$y= x$に沿って近づくと0になり、$y=x^3$に沿って近づくと0になるので、極限は存在すると考えられます。

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^3}{x^4 + y^4} = 0$

(2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x(e^y - 1)}{(\log(1+x))^2 + y^2}$ について

ヒントより、$\lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1}{y} = 1$ ですから、$\lim_{y \to 0} (e^y - 1) = y$ と考えることができます。

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x(e^y - 1)}{(\log(1+x))^2 + y^2} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{(\log(1+x))^2 + y^2}$

$\log(1+x) \approx x$ を用いると

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$

$y = mx$ に沿って近づくと、

$\lim_{x \to 0} \frac{x(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{mx^2}{x^2(1+m^2)} = \frac{m}{1+m^2}$

この値は $m$ に依存するので、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^3}{x^4 + y^4} = 0$

(2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x(e^y - 1)}{(\log(1+x))^2 + y^2}$ は存在しない。