与えられた関数 $f(x,y) = 2x^2 - 3xy - 20x + 5y^2 + 46y$ の極値を求める問題です。まず、$f_x(x,y) = f_y(x,y) = 0$ となる解 $(x,y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ が与えられています。次に、ヘッセ行列 $H(x,y)$ を用いて、それぞれの点における極値を判定します。 $(\alpha_1, \beta_1) = (2, -4)$ の場合の結果が与えられており、 $(\alpha_2, \beta_2) = (6, 4/3)$ の場合の $f_{xx}(\alpha_2, \beta_2)$ と $H(\alpha_2, \beta_2)$ の値を求め、極値を判定する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x,y) = 2x^2 - 3xy - 20x + 5y^2 + 46y$ の極値を求める問題です。まず、$f_x(x,y) = f_y(x,y) = 0$ となる解 $(x,y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ が与えられています。次に、ヘッセ行列 $H(x,y)$ を用いて、それぞれの点における極値を判定します。 $(\alpha_1, \beta_1) = (2, -4)$ の場合の結果が与えられており、 $(\alpha_2, \beta_2) = (6, 4/3)$ の場合の $f_{xx}(\alpha_2, \beta_2)$ と $H(\alpha_2, \beta_2)$ の値を求め、極値を判定する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$f(x,y)$ の偏導関数を求めます。

$f_x(x,y) = 4x - 3y - 20$

$f_y(x,y) = -3x + 10y + 46$

次に、$f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}$ を求めます。

$f_{xx}(x,y) = 4$

$f_{yy}(x,y) = 10$

$f_{xy}(x,y) = -3$

ヘッセ行列は次のようになります。

$H(x,y) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -3 & 10 \end{pmatrix}$

$(\alpha_2, \beta_2) = (6, 4/3)$ の場合を考えます。

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) = f_{xx}(6, 4/3) = 4$

ヘッセ行列の行列式 $|H(x,y)|$ は次のように計算されます。

$|H(x,y)| = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (4)(10) - (-3)^2 = 40 - 9 = 31$

したがって、

$|H(\alpha_2, \beta_2)| = 31$

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) = 4 > 0$ であり、$|H(\alpha_2, \beta_2)| = 31 > 0$ であるため、ヘッセ行列は正定値であり、$(\alpha_2, \beta_2) = (6, 4/3)$ で極小値を取ります。

3. 最終的な答え

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) = 4$

$|H(\alpha_2, \beta_2)| = 31$

ヘッセ行列は正定値であるから極小点となる。