与えられた二変数関数 $f(x,y) = 2x^2 - 3xy - 20x + 5y^2 + 46y$ の極値を求める。具体的には、偏微分 $f_x(x,y) = 0$ と $f_y(x,y) = 0$ を満たす点 $(x,y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ を求め、それぞれの点におけるヘッセ行列式 $H(x,y)$ の値を計算し、極大値、極小値、または鞍点であるかを判定する。

1. 問題の内容

与えられた二変数関数 $f(x,y) = 2x^2 - 3xy - 20x + 5y^2 + 46y$ の極値を求める。具体的には、偏微分 $f_x(x,y) = 0$ と $f_y(x,y) = 0$ を満たす点 $(x,y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ を求め、それぞれの点におけるヘッセ行列式 $H(x,y)$ の値を計算し、極大値、極小値、または鞍点であるかを判定する。

2. 解き方の手順

まず、偏微分を計算します。

$f_x(x,y) = 4x - 3y - 20$

$f_y(x,y) = -3x + 10y + 46$

次に、$f_x(x,y) = 0$ と $f_y(x,y) = 0$ を連立させて解きます。

$4x - 3y - 20 = 0$

$-3x + 10y + 46 = 0$

一つ目の式を3倍、二つ目の式を4倍して足し合わせると、$31y + 124 = 0$ となります。これから、$y = -4$ を得ます。これを最初の式に代入すると、$4x - 3(-4) - 20 = 0$ より、$4x + 12 - 20 = 0$ なので、$4x = 8$ となり、$x = 2$ を得ます。

したがって、一つの解は $(\alpha_1, \beta_1) = (2, -4)$ です。

次に、再度連立方程式を解く際、エラーがないか確認します。計算ミスがなければ、解は一つしかありません。

次に、二階偏微分を計算します。

$f_{xx}(x,y) = 4$

$f_{yy}(x,y) = 10$

$f_{xy}(x,y) = -3$

$f_{yx}(x,y) = -3$

ヘッセ行列式は、

$H(x,y) = f_{xx}(x,y) f_{yy}(x,y) - (f_{xy}(x,y))^2 = (4)(10) - (-3)^2 = 40 - 9 = 31$

$(\alpha_1, \beta_1) = (2, -4)$ のとき、

$f_{xx}(\alpha_1, \beta_1) = f_{xx}(2, -4) = 4$

$H(\alpha_1, \beta_1) = H(2, -4) = 31$

$f_{xx}(2, -4) = 4 > 0$ かつ $H(2, -4) = 31 > 0$ なので、点 $(2, -4)$ で極小値を取ります。

$\alpha_2$と$\beta_2$を求めるための連立方程式を再度確認すると、エラーが見つかりました。正しくは次のようになります。

$4x - 3y = 20$

$-3x + 10y = -46$

一つ目の式を10倍、二つ目の式を3倍して足し合わせると、$40x - 30y - 9x + 30y = 200 - 138$なので、$31x = 62$となり、$x = 2$を得ます。これを最初の式に代入すると、$4(2) - 3y = 20$となり、$8 - 3y = 20$なので、$-3y = 12$となり、$y = -4$を得ます。

したがって、ただ一つの解は $(\alpha_1, \beta_1) = (\alpha_2, \beta_2) = (2, -4)$ です。

3. 最終的な答え

$\alpha_1 = 2$

$\beta_1 = -4$

$\alpha_2 = 2$

$\beta_2 = -4$

$f_{xx}(\alpha_1, \beta_1) = 4$

$H(\alpha_1, \beta_1) = 31$

ヘッセ行列は正定値であるから、極小となる

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) = 4$

$H(\alpha_2, \beta_2) = 31$

ヘッセ行列は正定値であるから、極小となる