与えられた不定積分を計算します。被積分関数は $3x^2 \sqrt{x^3 + 2}$ です。

はい、承知いたしました。画像にある積分問題の中から、以下の問題を解きます。

$\int 3x^2 \sqrt{x^3 + 2} dx$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算します。被積分関数は $3x^2 \sqrt{x^3 + 2}$ です。

2. 解き方の手順

置換積分を用います。

ステップ1: $u = x^3 + 2$ と置換します。

ステップ2: $du$ を計算します。$du = 3x^2 dx$

ステップ3: 与えられた積分を $u$ で書き換えます。

$\int 3x^2 \sqrt{x^3 + 2} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{1/2} du$

ステップ4: $u$ について積分します。

$\int u^{1/2} du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} u^{3/2} + C$

ステップ5: $u$ を $x^3 + 2$ に戻します。

$\frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{2}{3} (x^3 + 2)^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

$\int 3x^2 \sqrt{x^3 + 2} dx = \frac{2}{3} (x^3 + 2)^{3/2} + C$