問題は、積分 $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$ が漸化式 $I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$ (for $n \ge 2$) を満たすことを示し、この漸化式を解くことです。ただし、$I_0 = \frac{\pi}{2}$ および $I_1 = 1$ が与えられています。

## 問題3について回答します。

1. 問題の内容

問題は、積分 $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$ が漸化式 $I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$ (for $n \ge 2$) を満たすことを示し、この漸化式を解くことです。ただし、$I_0 = \frac{\pi}{2}$ および $I_1 = 1$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$ が漸化式を満たすことを部分積分を使って示します。

$u = \cos^{n-1}x$, $dv = \cos x \, dx$ とおくと、

$du = (n-1) \cos^{n-2}x (-\sin x) \, dx$, $v = \sin x$ となります。

部分積分を行うと、

$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx = [\cos^{n-1}x \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x (n-1) \cos^{n-2}x (-\sin x) \, dx$

$= 0 + (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n-2}x \sin^2 x \, dx$

$= (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n-2}x (1 - \cos^2 x) \, dx$

$= (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n-2}x \, dx - (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$

$= (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$

したがって、$I_n = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$ となり、これを整理すると、

$I_n + (n-1) I_n = (n-1) I_{n-2}$

$n I_n = (n-1) I_{n-2}$

$I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$ が得られます。

次に、この漸化式を解きます。$n$ が偶数の場合と奇数の場合で分けて考えます。

* $n$ が偶数の場合 ($n = 2k$):

$I_{2k} = \frac{2k-1}{2k} I_{2k-2} = \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k-3}{2k-2} I_{2k-4} = \cdots = \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k-3}{2k-2} \cdots \frac{1}{2} I_0$

$I_{2k} = \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} I_0 = \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{\pi}{2}$

ここで、$m!!$ は $m$ が奇数の場合 $m(m-2)(m-4)\cdots 1$、 $m$ が偶数の場合 $m(m-2)(m-4)\cdots 2$ を表します。

* $n$ が奇数の場合 ($n = 2k+1$):

$I_{2k+1} = \frac{2k}{2k+1} I_{2k-1} = \frac{2k}{2k+1} \cdot \frac{2k-2}{2k-1} I_{2k-3} = \cdots = \frac{2k}{2k+1} \cdot \frac{2k-2}{2k-1} \cdots \frac{2}{3} I_1$

$I_{2k+1} = \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!} I_1 = \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}$

3. 最終的な答え

$I_n = \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{n!!} \frac{\pi}{2} & \text{if } n \text{ is even} \\ \frac{(n-1)!!}{n!!} & \text{if } n \text{ is odd} \end{cases}$