1. 曲線 $y = \log x$ の接線で、傾きが7であるものを求めよ。

1. 問題の内容

1. 曲線 $y = \log x$ の接線で、傾きが7であるものを求めよ。

2. 曲線 $y = 2x^3 - 6x^2 + 12x + 2$ の接線で、傾きが $6x - y + 3 = 0$ に平行なものを求めよ。

3. 曲線 $y = 2x^2 - 5x + 18$ の接線で、点 $A(0, 0)$ を通るものを求めよ。

4. 媒介変数表示の曲線 $x = 4\cos t$, $y = 2\sin t$ について、$t = \pi/6$ に対する点における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

1. 曲線 $y = \log x$ について:

- 微分して傾きを求める: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$.

- 傾きが7であることから、$\frac{1}{x} = 7$ となる $x$ を求める: $x = \frac{1}{7}$.

- 接点の $y$ 座標を求める: $y = \log(\frac{1}{7}) = -\log 7$.

- 接線の方程式を求める: $y - (-\log 7) = 7(x - \frac{1}{7})$, つまり $y + \log 7 = 7x - 1$, よって $y = 7x - 1 - \log 7$.

2. 曲線 $y = 2x^3 - 6x^2 + 12x + 2$ について:

- 与えられた直線 $6x - y + 3 = 0$ を $y = 6x + 3$ と変形すると、傾きは6。

- 微分して傾きを求める: $\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 12x + 12$.

- 傾きが6であることから、$6x^2 - 12x + 12 = 6$ となる $x$ を求める: $6x^2 - 12x + 6 = 0$, つまり $x^2 - 2x + 1 = 0$, よって $(x - 1)^2 = 0$, $x = 1$.

- 接点の $y$ 座標を求める: $y = 2(1)^3 - 6(1)^2 + 12(1) + 2 = 2 - 6 + 12 + 2 = 10$.

- 接線の方程式を求める: $y - 10 = 6(x - 1)$, つまり $y - 10 = 6x - 6$, よって $y = 6x + 4$.

3. 曲線 $y = 2x^2 - 5x + 18$ について:

- 微分して傾きを求める: $\frac{dy}{dx} = 4x - 5$.

- 接点を $(t, 2t^2 - 5t + 18)$ とすると、接線の方程式は $y - (2t^2 - 5t + 18) = (4t - 5)(x - t)$.

- この接線が $(0, 0)$ を通ることから、 $0 - (2t^2 - 5t + 18) = (4t - 5)(0 - t)$, つまり $-2t^2 + 5t - 18 = -4t^2 + 5t$, よって $2t^2 - 18 = 0$, $t^2 = 9$, $t = \pm 3$.

- $t = 3$ のとき、接点は $(3, 2(3)^2 - 5(3) + 18) = (3, 18 - 15 + 18) = (3, 21)$. 接線の傾きは $4(3) - 5 = 7$. 接線の方程式は $y - 21 = 7(x - 3)$, つまり $y = 7x$.

- $t = -3$ のとき、接点は $(-3, 2(-3)^2 - 5(-3) + 18) = (-3, 18 + 15 + 18) = (-3, 51)$. 接線の傾きは $4(-3) - 5 = -17$. 接線の方程式は $y - 51 = -17(x + 3)$, つまり $y = -17x$.

-したがって、接線の方程式は$y = 7x$と$y=-17x$.

4. 媒介変数表示の曲線 $x = 4\cos t$, $y = 2\sin t$ について:

- $\frac{dx}{dt} = -4\sin t$, $\frac{dy}{dt} = 2\cos t$.

- $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2\cos t}{-4\sin t} = -\frac{1}{2}\cot t$.

- $t = \pi/6$ のとき、$x = 4\cos(\pi/6) = 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sqrt{3}$, $y = 2\sin(\pi/6) = 2(\frac{1}{2}) = 1$.

- $t = \pi/6$ のときの傾きは $-\frac{1}{2}\cot(\pi/6) = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$.

- 接線の方程式は $y - 1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}(x - 2\sqrt{3})$, つまり $y - 1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + 3$, よって $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + 4$.

3. 最終的な答え

1. $y = 7x - 1 - \log 7$

2. $y = 6x + 4$

3. $y = 7x, y = -17x$

4. $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + 4$