与えられた関数 $f(x, y) = 432x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{3}} - 27x - 16y$ の極値を求める問題です。ただし、$x > 0$, $y > 0$とします。 まず、$f_x(x, y) = 0$ かつ $f_y(x, y) = 0$ を満たす解 $(x, y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ を求めます。その後、ヘッセ行列 $H(x, y)$ を用いて極値を判定します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = 432x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{3}} - 27x - 16y$ の極値を求める問題です。ただし、$x > 0$, $y > 0$とします。

まず、$f_x(x, y) = 0$ かつ $f_y(x, y) = 0$ を満たす解 $(x, y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ を求めます。その後、ヘッセ行列 $H(x, y)$ を用いて極値を判定します。

2. 解き方の手順

(1) $f_x(x,y)$ と $f_y(x,y)$ を計算します。

$f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = 432 \cdot \frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1} y^{\frac{1}{3}} - 27 = 72 x^{-\frac{5}{6}} y^{\frac{1}{3}} - 27$

$f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = 432 \cdot \frac{1}{3} x^{\frac{1}{6}} y^{\frac{1}{3} - 1} - 16 = 144 x^{\frac{1}{6}} y^{-\frac{2}{3}} - 16$

(2) $f_x(x, y) = 0$ と $f_y(x, y) = 0$ を解きます。

$72 x^{-\frac{5}{6}} y^{\frac{1}{3}} - 27 = 0$ より $72 x^{-\frac{5}{6}} y^{\frac{1}{3}} = 27$ なので $y^{\frac{1}{3}} = \frac{27}{72} x^{\frac{5}{6}} = \frac{3}{8} x^{\frac{5}{6}}$

$y = (\frac{3}{8} x^{\frac{5}{6}})^3 = \frac{27}{512} x^{\frac{5}{2}}$

$144 x^{\frac{1}{6}} y^{-\frac{2}{3}} - 16 = 0$ より $144 x^{\frac{1}{6}} y^{-\frac{2}{3}} = 16$ なので $x^{\frac{1}{6}} y^{-\frac{2}{3}} = \frac{16}{144} = \frac{1}{9}$

$x^{\frac{1}{6}} = \frac{1}{9} y^{\frac{2}{3}}$

$x = (\frac{1}{9} y^{\frac{2}{3}})^6 = \frac{1}{9^6} y^4 = \frac{1}{531441} y^4$

得られた2式を連立します。

$y = \frac{27}{512} (\frac{1}{531441} y^4)^{\frac{5}{2}} = \frac{27}{512} \frac{1}{531441^{\frac{5}{2}}} y^{10}$

$1 = \frac{27}{512} \frac{1}{531441^{\frac{5}{2}}} y^9$

$y^9 = \frac{512}{27} 531441^{\frac{5}{2}}$

$y = (\frac{512}{27})^{\frac{1}{9}} 531441^{\frac{5}{18}} = (\frac{2^9}{3^3})^{\frac{1}{9}} (3^{12})^{\frac{5}{18}} = \frac{2}{3^{\frac{1}{3}}} 3^{\frac{10}{3}} = 2 \cdot 3^{\frac{9}{3}} = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$

$x = \frac{1}{531441} (54)^4 = \frac{1}{3^{12}} (2 \cdot 3^3)^4 = \frac{2^4 3^{12}}{3^{12}} = 2^4 = 16$

したがって、 $(\alpha_1, \beta_1) = (16, 54)$

次に、$y = \frac{3}{8} x^{\frac{5}{6}}$ を $x = \frac{1}{9} y^{\frac{2}{3}}$ に代入して、$x^{\frac{1}{6}} = \frac{1}{9} (\frac{3}{8} x^{\frac{5}{6}})^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{9} (\frac{3}{8})^{\frac{2}{3}} x^{\frac{5}{9}}$

$x^{\frac{1}{6} - \frac{5}{9}} = \frac{1}{9} (\frac{3}{8})^{\frac{2}{3}}$

$x^{-\frac{7}{18}} = \frac{1}{9} (\frac{3}{8})^{\frac{2}{3}}$

$x^{\frac{7}{18}} = 9 (\frac{8}{3})^{\frac{2}{3}} = 3^2 (\frac{2^3}{3})^{\frac{2}{3}} = 3^2 \frac{2^2}{3^{\frac{2}{3}}} = 3^{\frac{4}{3}} 2^2 = 4 \cdot 3^{\frac{4}{3}}$

$(\alpha_1, \beta_1) = (16, 54)$ ではない場合を考えます。

もし、$f_x = f_y = 0$ が $(16,54)$ 以外の解を持たないなら、$(\alpha_2, \beta_2) = (0, 0)$ となります。しかし、問題文の条件から $x > 0, y > 0$ であるため、これはありえません。

再計算すると、

$72 x^{-\frac{5}{6}} y^{\frac{1}{3}} = 27$

$144 x^{\frac{1}{6}} y^{-\frac{2}{3}} = 16$

$x^{-\frac{5}{6}} y^{\frac{1}{3}} = \frac{27}{72} = \frac{3}{8}$

$x^{\frac{1}{6}} y^{-\frac{2}{3}} = \frac{16}{144} = \frac{1}{9}$

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{8} x^{\frac{5}{6}}$

$y = (\frac{3}{8})^3 x^{\frac{5}{2}} = \frac{27}{512} x^{\frac{5}{2}}$

$x^{\frac{1}{6}} = \frac{1}{9} y^{\frac{2}{3}}$

$x = (\frac{1}{9})^6 y^4 = \frac{1}{531441} y^4$

$f_x=0, f_y=0$となる解は$(16, 54)$のみです。

したがって$(\alpha_2,\beta_2)=(0,0)$はありえません.

(3) $f_{xx}(x, y)$ を計算します。

$f_{xx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 72 \cdot (-\frac{5}{6}) x^{-\frac{5}{6} - 1} y^{\frac{1}{3}} = -60 x^{-\frac{11}{6}} y^{\frac{1}{3}}$

(4) $(\alpha_1, \beta_1) = (16, 54)$ のとき、$f_{xx}(\alpha_1, \beta_1)$ を計算します。

$f_{xx}(16, 54) = -60 (16)^{-\frac{11}{6}} (54)^{\frac{1}{3}} = -60 (2^4)^{-\frac{11}{6}} (2 \cdot 3^3)^{\frac{1}{3}} = -60 \cdot 2^{-\frac{22}{3}} 2^{\frac{1}{3}} 3 = -180 \cdot 2^{-\frac{21}{3}} = -180 \cdot 2^{-7} = -180 \cdot \frac{1}{128} = -\frac{45}{32}$

(5) $f_{xy}(x, y)$ を計算します。

$f_{xy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 72 x^{-\frac{5}{6}} \cdot \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} = 24 x^{-\frac{5}{6}} y^{-\frac{2}{3}}$

(6) $f_{yy}(x, y)$ を計算します。

$f_{yy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 144 x^{\frac{1}{6}} (-\frac{2}{3}) y^{-\frac{2}{3} - 1} = -96 x^{\frac{1}{6}} y^{-\frac{5}{3}}$

(7) ヘッセ行列式 $|H(x, y)| = f_{xx}(x, y) f_{yy}(x, y) - (f_{xy}(x, y))^2$ を計算します。

$|H(x, y)| = (-60 x^{-\frac{11}{6}} y^{\frac{1}{3}}) (-96 x^{\frac{1}{6}} y^{-\frac{5}{3}}) - (24 x^{-\frac{5}{6}} y^{-\frac{2}{3}})^2 = 5760 x^{-\frac{10}{6}} y^{-\frac{4}{3}} - 576 x^{-\frac{10}{6}} y^{-\frac{4}{3}} = 5184 x^{-\frac{5}{3}} y^{-\frac{4}{3}}$

(8) $(\alpha_1, \beta_1) = (16, 54)$ のとき、 $|H(\alpha_1, \beta_1)|$ を計算します。

$|H(16, 54)| = 5184 (16)^{-\frac{5}{3}} (54)^{-\frac{4}{3}} = 5184 (2^4)^{-\frac{5}{3}} (2 \cdot 3^3)^{-\frac{4}{3}} = 5184 (2^{-\frac{20}{3}}) (2^{-\frac{4}{3}} 3^{-4}) = 5184 \cdot 2^{-\frac{24}{3}} 3^{-4} = 5184 \cdot 2^{-8} \cdot 3^{-4} = 5184 \cdot \frac{1}{256} \cdot \frac{1}{81} = \frac{5184}{256 \cdot 81} = \frac{5184}{20736} = \frac{1}{4}$

(9) $(\alpha_2, \beta_2)$ を求めます。$f_x=f_y=0$の解は$(16,54)$のみなので、$(\alpha_2, \beta_2)=(16,54)$.

$f_{xx}(16, 54) = -\frac{45}{32}$.

$|H(16, 54)| = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\alpha_1 = 16$

$\beta_1 = 54$

$\alpha_2 = 16$

$\beta_2 = 54$

$f_{xx}(\alpha_1, \beta_1) = -\frac{45}{32}$

$|H(\alpha_1, \beta_1)| = \frac{1}{4}$

ヘッセ行列は正定値行列ではありません。鞍点となる。

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) = -\frac{45}{32}$

$|H(\alpha_2, \beta_2)| = \frac{1}{4}$

ヘッセ行列は正定値行列ではありません。鞍点となる。