定積分 $\int_{0}^{2\sqrt{2}} \frac{dx}{8+x^2}$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2\sqrt{2}} \frac{dx}{8+x^2}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan{\frac{x}{a}} + C$の公式を利用します。

今回の問題では$a^2 = 8$、つまり$a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$です。

よって、

$\int \frac{1}{8 + x^2} dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan{\frac{x}{2\sqrt{2}}} + C$

定積分の計算を行います。

$\int_{0}^{2\sqrt{2}} \frac{dx}{8+x^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left[ \arctan{\frac{x}{2\sqrt{2}}} \right]_0^{2\sqrt{2}}$

$= \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \arctan{\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}} - \arctan{\frac{0}{2\sqrt{2}}} \right)$

$= \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \arctan{1} - \arctan{0} \right)$

$\arctan{1} = \frac{\pi}{4}$、$\arctan{0} = 0$なので、

$= \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right)$

$= \frac{\pi}{8\sqrt{2}}$

分母を有理化します。

$\frac{\pi}{8\sqrt{2}} = \frac{\pi \sqrt{2}}{8\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{\pi \sqrt{2}}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi\sqrt{2}}{16}$